힘들게 만들었지만 그 누구도 관심 없어하여 대충 훑어보다가 말고 좋아요도 안 눌러주고 댓글도 안 달아줘 글쓴이가 서운해 하는 불행의 2025 수능 수학 미적분 및 기하 플러스 물리학2 그리고 화학2 풀이!!!

당당하게 말할게요, 좋아요 좀 눌러주세ㅇ

먼저 수학부터 봅시다!

-공통-

1번 - 뭐.. 평소의 1번 문제죠 뭐. 긴 말은 안 할게요.

2번 - 특별한 것 없는 단순 미분 문제.

3번 - 공비가 양수임을 확인하고 공비와 첫째항이 같다고 했으니 게임이 금방 끝납니다.

4번 - 단순한 일차방정식만 풀면 되죠, 뭐.

5번 - 역시 단순한 미분 문제입니다.

6번 - 삼각함수의 공식들을 잘 암기했습니까? 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합이 1인 건 기본이죠.

7번 - 그냥 양변을 x에 대해 미분하면 1초컷입니다.

8번 - 먼저 a를 단순화시키면 log2(10)이 나올 겁니다. b=log10(2)니 서로 곱하면 1이 되겠죠. 저 ln은 무시해주시길 바랍니다.

9번 - 다행히 3점 수준의 4점 문제가 나왔습니다. 특별한 건 없으니 그냥 정적분을 편하게 하시면 됩니다.

10번 - 슬슬 압박감이 당신을 조이기 시작합니다. b는 자연수랬으니 b가 뭐든 간에 주기 2pi/b는 2pi 이하가 됩니다. 즉,  pi/3은 0~2pi 사이에 있는 값이기도 하니 a+3=13 즉, a=10이 자명하게 됩니다. 이제 x값을 집어넣어야겠죠. 그럼 b*pi/3이 2n*pi (n은 정수) 여야 함을 알 수 있습니다. 그럼 b의 최솟값은 6이 되겠죠? 킥킥

11번 - 쫄지 마세요!! 별 거 없는 거리&속도&가속도 문제입니다! 운동 방향이 바뀌는 순간에서 속도가 0인 것만 아시면 대단히 쉬운 문제입니다!

12번 - 먼저 n=1일 때를 조사하셔서 bn의 공차를 찾아내신 후, 약간의 노가다를 해서 a2~a5의 값들을 찾아내시면 됩니다.

13번 - 맨 위의 조건들로 f(x)의 식을 알아내신 다음, P의 좌표를 통해 직선의 방정식을 찾아내시고 직선의 식에서 삼차함수의 식을 뺀 새로운 식(이 식을 g(x)라고 하겠음)을 0부터 3까지 정적분하면 끝입니다. Q는 신경 안 쓰냐고요? B-A는 어차피 g(x)를 0부터 3까지 그냥 정적분을 한 값과 같다니까요?

14번 - 비주얼부터 쉽지 않아 보입니다. 실제로도 쉽지 않지만요.

우선 AD와 DB의 길이를 각각 3r, 2r로 둔 후, 삼각형 ADE의 넓이를 sinA에 대해 나타내줍시다. 이때 AD, AE는 서로 원의 반지름이니 길이는 3r입니다. 저는 B에서 직선 AC에 수직으로 그은 선분 가지고 좀 복잡하게 풀어서 BC 길이는 8r이란 걸 도출했는데, 사실 이거 말고 그냥 사인법칙으로 푸시는 게 더 빠릅니다.

삼각형 ABC 넓이가 삼각형 ADE의 35/9배라고 했으니 제가 위에서 적은 식에서 볼 수 있듯 CE 길이가 4r임을 알아낼 수 있습니다. 이제 삼각형 ABC 외접원의 반지름 길이가 7이란 걸 이용해봅시다. 사인법칙이 떠오르시죠? 잘 정리하면 A의 각과 r의 값을 알아낼 수 있습니다.

삼각형 PBC의 넓이의 최댓값은 높이가 그림에서처럼 저렇게 나타나 있어야 최댓값을 가지겠죠. r의 값을 통해 계산하면 답은 4번이 나옵니다.

15번 - (가) 조건을 통해 f(0), f'(0)의 값을 알아내는 게 1단계입니다. 그리고 각 도함수의 그래프를 (나) 조건에 맞도록 적절히 그려야 하지요. f'(x)는 x>0에서 무조건 x축을 지납니다. 여기서부터 (나)에서의 실근 2개가 나온 셈이죠. 그림을 보면 이해사 가실 겁니다.

이제 x<0일 때의 g'(x)를 찾아봐야죠. 그래프가 접할 때는 안 됩니다. 이때 a가 3sqrt(5)가 나오는데, 이는 문제 맨 위의 조건에 위배되니까요. 그래프가 x축과 안 만날 때도 당연히 안 됩니다. 그럼 (나)의 식의 서로 다른 실근 개수가 겨우 2개만 나오잖습니까.

그럼 결국 두 점을 지나야 한다는 소리네요. 잘못 잡으면 서로 다른 실근 개수가 4개를 넘어갈 수 있습니다. 하지만 만약 g'(x)의 x축과 만나는 세 교점의 사이의 거리가 그림처럼 모두 4로 동일하다면 어떨까요? 먼저 x<0에서의 g'(x)에서 두 근의 차가 4임을 이용해서 a를 구해줍니다. 그리고 a=9를 통해서 두 점의 x좌표를 구하고 p까지 구하면 완성! 

휴 다행히 선넘는 문제는 아니었습니다.

16번 - loga^m(b^n)=(n/m)*loga(b)

17번 - 그냥 무난무난한 부정적분 문제

18번 - 그림을 참고해주세용

19번 - 작수처럼 3.5점 수준의 문제는 아니군요. 편한 마음으로 적분하고 극댓값에서의 x좌표를 찾은 후 대입해서 a를 찾아냅시다.

20번 - 급발진. 처음 보고 "이게 뭐시여"라는 말이 절로 나왔습니다. 우선 맨 밑의 k=5^(-k+3)에서 k^3=5^(-3k+9)이므로 (k^3)*5^(3k)=5^9가 나옵니다. 결국 구하라는 것은 f(5^(-9))이므로 첫 번째 식에서 f(12)=5^(-9)임을 찾아낸 후, 두 번째 식에 이 값을 대입해 f(5^(-9))=3*12=36임을 찾으시면 끝입니다.

x>k임을 무시하고 푼 게 조금 찝찝한가요? 괜찮습니다. 우리가 x>k에서 주어진 f(x)를 사용할 때 x값엔 12를 집어넣었고, 12는 k보다 큰 게 자명하기 때문에 문제없습니다. 애초에 f(x)의 정의역이 실수 전체의 집합이라고 하기도 했고요.

21번 - 식으로만 풀려고 하면 안 풀립니다. 그래프를 그려야 해요. 2x+1=x에서 x좌표가 -1인 곳을 일단 보류해두겠습니다, 이따가 쓸 일이 있을 것 같아요.

f(0)=4임을 고려하여 그래프 개형을 그려봐야 하는데, 경우의 수가 많아서 벌써부터 머리가 아픕니다. 천천히 접근해봅시다.

그래프가 x축과 만나는 교점이 3개일 때를 생각해봅시다. (-1, 0)을 지나든, 안 지나든, 극한 조건을 만족시키긴 힘들어 보입니다.

그럼 교점이 2개 즉, 한 곳에서 x축과 접할 때는 어떨까요? (-1, 0)을 안 지나면 의미 없습니다. 근데 (-1, 0)을 지난다고 해도 의미가 없습니다. (-1, 0)을 지나고, 접하는 곳이 (a, 0)이라고 하죠. a는 -1이 아닙니다. a>-1이라면 극한식에서 알파가 a로 갈 때 f(2a+1)=0이어야 하는데, (2a+1, 0)은 지나지 않아 유감입니다. a<-1이어도 같은 이유로 조건과 모순됩니다.

결국 (-1, 0)만을 지나야만 하네요. 여기서 만약 그래프가 증가함수라면 f(1)이 최대가 될 것 같지 않나요? 이러러면 a는 -1, 0, 1, ..., 4 중 하나여야 합니다. 그리고 x축과의 교점이 (-1, 0)밖에 없다면 극한 조건도 만족시키고 그렇다면 a-b=-3이라는 식이 나오게 되죠. f(1)=a+b+5의 최댓값을 물어봤으니, a=4, b=7이 되어 답은 16이 됩니다.

22번 - 결국 22번으로 수열 문제가 나오고 말았습니다. (나) 조건을 통해 a3와 a5의 값들의 절댓값은 서로 같단 걸 알아둡시다. a3, a5의 값들을 부호에 따라 나눠서 가능한 값들을 나열해봅시다.

...그 전에 a3=a5=0일 때를 먼저 살펴봅시다. 그럼 a1=6인 경우가 바로 나옵니다. 실제로 이걸 빼먹어서 틀린 분들이 계실 거라 생각합니다.

이제 다시 경우의 수를 나눠보면, a3로 가능한 값들은 각각 -6, -3, 2, 1임을 알 수 있습니다. 이제 이들을 통해서 또 다시 경우의 수를 나눠야 합니다. 참 귀찮죠.

그러면 a1으로 가능한 값들은 모두 6, -9, -24, 8, 7, 10이 나오고, "절댓값"들의 합은 최종적으로 64가 나오게 됩니다.

작수 15번보다 훨씬 더 빡빡한 수열 문제였습니다.

지금부터는 미적분을 살펴볼 거예용

-미적분-

23번 - sinx/x에서 x가 0으로 갈 때 극한값이 1입니다.

24번 - 부분분수로 쪼개면 쉽게 풀립니다.

25번 - 아직까진 괜찮습니다. 분수 꼴로 변환한 후 극한을 구해줍시다.

26번 - 적분이 매우 복잡해보입니다. 하지만 치환적분 하나면 금방 풀립니다. x+lnx를 t로 치환해야 적분식이 매우 간결하게 나옵니다!

27번 - 불지옥 시작입니다. g(x) 위의 x=0인 곳에서의 접선이 x축이랬으니 g(0)=g'(0)=0이 될 겁니다. g(x)와 g'(x)에 x=0을 대입해서 f(1), f'(1)의 값을 알아냅니다. 그리고 g(x)가 역함수를 갖는다고 했으니 g'(x)는 무조건 0 이상의 값만을 가져야 합니다! 이는 f'(x)의 최솟값이 무조건 -1이어야 함을 의미합니다. f(x)의 식을 x^3+ax^2+bx+c 꼴로 세우고 f(1), f'(1)의 값들, 그리고 f'(x) >= -1이어야 함을 이용하여 f(x)의 식을 구해냅니다. 이제 끝났습니다. 역함수의 도함수는 위에 나타냈고, g(x)=8이 되는 x값을 찾아내서 정리하면 답이 나옵니다. 작수 27번 처럼 쉽지 않았습니다..

28번 - 작수 28번 처럼 엄청나게 어려운 문제가 출제됐습니다. 해당 도함수를 직접 적분하려는 건 미친 짓이므로 그만두고 다른 방안을 생각해봅시다.

이계도함수로 도함수의 개형을 그린 후, 원함수의 개형을 추론해야 합니다. 풀이를 편의를 위해서 f(0)=0이라고 가정했읍니다. 그리고 접선의 방정식을 세우고, 그림에서 처럼 넓이 g(t)를 f(t)와 t에 관한 식으로 나타내봅시다. 여기서 놀라운 일이 발생합니다. g'(t)를 구하면 다른 식들이 소거되어 단 하나만의 식만 남게 된다는 것입니다!! 이 식을 풀어서 쓰면 g'(t)가 f가 포함된 식이 아닌 t로만 구성된 식으로 나타나게 되며, 여기서 g'(1)을 구할 수 있게 됩니다.

이제 이 식을 적분해봅시다. (t^3)*exp(1-t^2)을 적분하는 건 불가능해보이지만, 위에서 적은 것처럼 치환적분을 하신 후, 부분적분을 하시면 나옵니다! 그런데 t가 0으로 가까이 갈 때, 넓이는 0에 가까워진다는 걸 유의하면 적분상수도 쉽게 처리할 수 있습니다. 이를 토대로 정리하면 결국 g(t)가 나오게 되는 것이죠. 그럼 g(1)이 나옵니다.

f(x)를 구하지 않아도 g(t)가 나오도록 설계하신 평가원분들 그저 GOAT

29번 - 등비수열의 무한급수 문제입니다. 개인적으로 작수 29번과 비슷한 것 같아요. (=어려웠다)

ㄴ맨 위의 조건들을 통해 an의 일반항을 뽑아낸 후, 밑에 있는 기괴한 식을 정리하면 됩니다. 이제 무한급수를 구하면 되는데, 위에서 적었듯이 두 항씩 묶어서 계산한 후, 그 항들을 이용해서 급수의 값을 구하는 게 더 좋습니다. 그럼 m으로 가능한 값들은 1, 3, 5, 7, 9임을 알 수 있죠.

30번 - 작수 30번과는 비교도 안 될 정도로 어려웠습니다. f(x)의 식 꼬라지도 극혐이고요. 아무튼 먼저 f(0)=0을 통해 b가 n*pi (n은 정수)임을 알아내고, f(x)가 sin(g(x)) 꼴이므로 f(x)의 값의 범위는 -1~1 사이라는 걸 알아야겠죠. 따라서 2a*pi+b는 -1 이상 1 이하의 값을 가져야 하죠. 

이제 f'(0)=f'(4*pi)임을 이용해서 식을 정리하면 위에서 적은 것처럼 a로 가능한 값들이 나열됩니다. n이 정수이고 2a*pi+b의 값의 범위가 -1 이상 1 이하임을 고려하면 a로 가능한 값들은 1, 1.5, 2라는 걸 알 수 있어요! 그에 따라 가능한 n의 값도 a에 따라 각각 -2, -3, -4가 되는 거죠. 눈치채셨나요? n=-2a입니다.

이제 경우의 수를 나눠봅시다. ax+b+sinx의 그래프를 그려본 후,  sinx에 그 함수를 집어넣은 걸 그려야 합니다. 합성함수를 그려야 하는 과정이 조금 어려울 수도 있겠네요.

a가 1이거나 2일 때는 조건 (나)를 만족시키는 t의 최솟값이 4*pi가 아닌 2*pi가 되니 탈락.

a가 1.5일 때여야 비로소 (나) 조건에 맞게 됩니다. 이때 b=-2a*pi=-3*pi이고요. 위에 제가 그린 그래프를 참고해주세요.

그렇다면 이 그래프에서 극댓값을 갖는 점은 주어진 범위 (0, 4*pi) 내에서 3개이고, 그 점 중 x좌표가 가장 작은 곳의 x좌표는 pi이죠? 게임 끝, 답은 17. 

-기트남어 기하-

23번 - 별 거 없는 벡터 성분의 합차 문제

24번 - x축 평행이동을 한 것 밖에 없는 포물선 문제

25번 - 아직까진 무난한 내분/외분 문제. z축 위에 있다는 건 x, y좌표가 둘 다 0임을 의미하고 xy평면 위에 있다는 건 z좌표만 0이란 걸 의미하죠.

26번 - 타원의 접선 공식을 잊어서 미적분의 지식을 사용했습니다. 계산 과정이 너무 귀찮네요.. 각 접점의 좌표를 구하고, 그 점에서의 접선의 기울기까지 구한 후, 접선의 방정식을 세워서 x절편을 찾으면 됩니다. 참 SXXT같죠?

27번 - 평면 AMD와 직선 BC가 서로 수직이라면 BC, AM은 서로 수직을 이룬다는 걸 의미합니다. 이를 토대로 AM의 길이를 구한 후 AC, CD, AD의 길이까지 구하면 삼각형 ACD의 넓이도 구할 수 있죠? 왜 뜬금없이 이 삼각형의 넓이를 구하냐고요? 이 삼각형에 내접하는 원의 반지름을 구하기 위해서 필요합니다. 삼각형의 넓이는 세 변의 길이의 합과 원의 반지름의 곱의 절반이기 때문이죠. 결국 반지름은 sqrt(2)가 나옵니다.

이제 A에서 CD에 수직으로 그은 선분의 길이를 삼각형의 넓이와 CD의 길이를 이용해서 구한 후... 말로 하면 이해가 안 가겠죠. 그림을 참고하시길 바랍니다. 삼수선의 정리를 활용하여 평면 ACD와 평면 BCD 사이의 각을 구하고, 원의 넓이와 그 각의 코사인 값을 곱하면 정사영의 넓이가 나오게 됩니다. 답 1번.

28번 - 작수처럼 기괴한 그림은 아닙니다. 이거는 말로 설명하는 것보다 그림을 보는 게 더 좋을 것 같아요. 원 O 위의 한 점 P에서 직선 AC에 수직으로 그은 선분에 대해 이 선과 AC의 교점을 T라고 잡읍시다. 그리고 원 O는 AB와 수직이고 P에서 AB에 수직으로 내린 점을 R이라고 하죠. 이때 주의해야 할 게, 직선 TR이 직선 BC와 평행하다고 잡아버리면 답이 안 나옵니다. 직선 TR과 직선 AC가 서로 수직을 이뤄야 삼수선의 정리가 성립합니다. 그러면 삼각형 PRT와 원 O의 반지름 길이가 4임을 이용하여 PR의 길이를 구하기만 하면 됩니다. 그럼 답이 4번이 나올 거예요.

29번 - 쌍곡선 위의 한 점에서의 각 초점 사이의 거리의 차가 2로 일정함을 알아야 합니다. 이때 2는 x축과 만나는 점들의 x좌표들의 차입니다. PF의 길이를 p로 잡으면 (이 p는 답 q/p와는 다릅니다) PF'의 길이는 p+2가 되고 PQ 길이는 조건에 따라 p가 됩니다. 이제 삼각형 QF'F, 삼각형 FF'P가 서로 닮음이란 걸 사용해야 합니다. 닮음비 기억하시죠? 위에 적은 것처럼 닮음 비례식을 세우시면 해결됩니다. 삼각형 PFQ는 이등변삼각형이므로 넓이는 비교적 쉽게 구할 수 있어요. 무겁지 않은 나름 평이한 문제였습니다.

30번 - 초고난도 벡터 문제. 정사각형 하나만을 보고 쉽다고 생각하시면 그건 크나큰 오산입니다. 벡터 XB - 벡터 XC는 결국 벡터 CB와 같고 이 벡터의 크기는 정사각형의 한 변의 길이 4와 동일하게 됩니다. 벡터 XB + 벡터 XC 같은 식을 변형할 때, X를 포함하는 벡터가 하나만 포함되도록 하는 것이 중요합니다. 2*벡터 XB + 벡터 BC. 이것 처럼요. 어차피 크기를 물어봤으니 이 벡터에 -1을 곱해서 2*벡터 BX + 벡터 CB로 변형해도 됩니다. 벡터 합의 시작점을 C라고 잡고 이 벡터의 크기가 4로 일정해야 하니 X의 집합 S의 도형은 BC를 지름으로 하는 원이 됩니다. 그림을 참조하세요.

이제 두 번째 벡터 식을 분석해보죠. 벡터 식 간략화 과정은 위에 적어드렸습니다. 간략화할 때 벡터의 시작점이 움직이지 않는 점이고, 끝점이 움직이는 점이 되도록 노력(?)해야 합니다. ....말로 설명하면 의미 없는 것 같으므로 차라리 그림을 보시는 게 훨씬 도움이 될 겁니다. 답은 316.

이제 과탐 물2화2 시간!!!!!

-물리학2-

1번 - 보어의 원자 모형은 불확정성 원리에 위배되고, 현대 전자 모형만 불확정성 원리를 만족시킵니다. 그리고 전자가 양자수 n이 더 높은 곳으로 갈 땐 에너지를 흡수해야 하니 전자기파가 방출되지 않습니다.

2번 - 광전류와 문턱 진동수는 광전 효과와 관련이 있습니다..

3번 - 1페부터 렌즈 문제가 나왔네요. 적어도 매우 쉽게 나왔으니 됐죠 뭐. 실상일 때와 허상일 때 상과 렌즈 사이의 거리 b는 각각 양수, 음수인 거 아시죠?

4번 - OP 길이를 d, L, λ로 나타내야 합니다. 밝은 무늬 사이의 거리는 x=Lλ/d입니다. 이걸 활용하면 Lx는 2 m임을 알 수 있어요. 식은 위에 적어드렸습니다. 이런 유형은 수특, 수완에서도 많이 보셨겠죠?

5번 - 조금 난해해 보이는군요. 단진자의 주기는 실의 길이의 제곱근에 비례합니다. t0은 TA와 TB의 최소공배수고요. 그리고 A, B의 최대 운동 에너지가 같으려면 최고점과 최저점 사이의 높이가 서로 같아야 하는데 실의 길이가 달라서 같지 않죠. 따라서 ㄷ만 오답입니다.

6번 - 평이한 회로 문제입니다. 전류계와 바로 연결된 저항을 RA라고 하고 모든 저항값을 R, 전원의 전압을 V라고 합시다. a에 연결할 때는 RA 양단에 걸리는 전압이 V입니다. b에 연결할 때는 RA 양단에 V/3의 전압이 걸리고요. b에 연결할 때 위쪽 부분에서 R/2와 R이 서로 직렬연결이 된 꼴이기 때문이죠.

7번 - 가속도의 크기가 클수록 F의 크기도 더 세집니다. 게임 끝.

8번 - 사설처럼 난해한 걸 묻진 않았습니다. 다행이네요. 전위 비교는 전류가 흐르는 방향으로 갈수록 전위가 낮아진다는 걸 알면 쉽게 할 수 있어요. 그리고 트랜지스터에선 IE=IB+IC이고 보통 컬렉터에 흐르는 전류 세기가 베이스에서보다 더 큽니다.

9번 - 위성의 질량이 서로 같아서 상황의 단순화가 더 쉬워졌네요. 공전 주기는 긴반지름의 1.5승에 비레하고 중력의 크기는 위성, 행성의 질량의 곱과 그 사이의 거리의 제곱에 반비례합니다. 이걸 알면 바로 풀려요.

10번 - 헷갈리면 저처럼 공식들을 적어두는 것도 좋은 방법이 될 수 있습니다. 주기의 제곱은 역수는 반지름 r에 반비례하단 걸 알 수 있네요.

11번 - 이젠 놀랍지도 않은 3차원 자기장 문제입니다. (가)에서 A, B에 흐르는 전류의 방향이 둘 다 종이면에서 나오는 방향임을 알야야 하지요. (나)에서 A에 의한 자기장은 xy평면과 수직이고 B에 의한 자기장은 xy평면과 나란하니 두 자기장의 합을 구하려면 그냥 피타고라스 정리를 쓰면 됩니다.

12번 - 계산이 귀찮은 것 빼곤 특별할 것 없는 도플러 효과 문제입니다. 관측자가 정지해있고 음원이 다가온다면 분모에서 음원의 속도는 -, 음원이 멀어진다면 +로 정한다는 거 안 잊으셨죠?

13번 - 공식 hf-W=Emax를 이용해서 A, B의 진동수를 비교합시다. 광전자의 질량은 일정하고 물질파 파장은 속력에 반비례하므로 일단 속력을 적어줍시다. 그리고 최대 운동 에너지는 속력의 제곱이 비례하니 각각 E, 9E라고 적어줍시다. 그럼 진동수는 B가 더 크단 걸 알 수 있습니다.

ㄴ을 봅시다. A, B를 동시에 비췄으니 광전류 최댓값은 I+2I=3I가 되겠죠.

ㄷ은 더 큰 최대 운동 에너지를 갖는 광전자가 방출되도록 하는 단색광이 B이므로 그 때의 물질파 파장은 λ입니다.

14번 - vB는 발사 각도와 수평 이동 거리, 연직 이동 거리가 모두 주어져 있으니 쉽게 구할 수 있습니다. vA도 빗면에서의 가속도가 gsinθ=g/sqrt(10)이고, vB를 구하는 과정에서 걸린 시간도 구했으니 평속을 통해 vA를 구할 수 있습니다.

15번 - 두 축전기는 병렬연결되어있으니 양단에 걸리는 전압은 V로 일정합니다. 그리고 전기 용량은 B가 A보다 더 크고 전기 에너지의 공식은 0.5*C*V^2이므로 ㄱ, ㄴ은 각각 B, A입니다. 전압이 V일 때 A, B의 에너지 비가 1:4이므로 ε1=7ε0입니다. 아, ㄱ을 안 풀었군요. 에너지가 2배가 되기 위해선 전압도 sqrt(2)배가 되어야 합니다.

16번 - A, B가 맞닿아 있는 지점에서 마찰이 있을 것 같지만, B에 작용하는 힘들은 모두 연직 방향의 힘들밖에 없습니다. 마찰력은 수평 방향으로 작용할 텐데, 수평 방향의 힘이 없으니 마찰력은 없습니다.

실 b를 기준으로 돌림힘 평형 식을 세우면 A가 B를 미는 힘의 크기는 8mg가 되어 실 b에 걸리는 장력 크기는 4mg+8mg=12mg가 됩니다. 이제 A를 봅시다. A가 B를 미는 힘의 크기는 B가 A를 미는 힘의 크기와 같으므로 결국 8mg가 됩니다. 따라서 실 a에 걸리는 장력의 크기는 4mg+6mg+12mg-8mg=14mg가 됩니다.

앞으로 어떤 새로운 유형의 2차원 돌림힘 문제가 나올지 기대되는군요.

17번 - 식으로 표현해야 하는 답은 없으니 변수들을 단순화시킵시다. 유도 전류가 양일 때 방향을 반시계방향이라고 잡으면 자기장 영역 I, II에서의 자기장 방향은 각각 o방향(나오는 방향), x방향(들어가는 방향)입니다. 그리고 세기는 각각 B, 3B이며, 이는 θ>pi/2일 때 각속도가 일정하고 유도 전류의 세기가 1:3이라는 것으로부터 유도할 수 있어요.

18번 - 일-운동에너지 정리를 통해서 v0을 구하시고, 중력이 물체에 한 일을 구하기 위해서는 연직 방향의 운동 에너지 변화량을 생각하면 됩니다. 중력은 수평 방향의 속도에 영향을 미치지 못 하니까요.

19번 - B에 작용하는 전기력을 통해서 B의 부호가 -, C의 부호가 +임을 유도할 수 있습니다. 원래 전기력, 전기장 문제 풀 떄 저는 변수 단순화를 하는데, 여기선 헷갈릴까봐 단순화를 조금만 했습니다. A에 작용하는 전기력 크기 F의 식을 구한 다음, 점 p에서의 전기장의 세기를 F와 q에 대하여 나타내면 됩니다. 이런 유형은 9모에서도 다뤘었죠?

20번 - 신유형 등가속도 운동 문제입니다. 척 봐도 어려워 보이므로 차근차근 분석을 해봅시다. A의 x방향 가속도의 크기와 y방향 가속도의 크기를 각각 a, b라고 하면 Ax=v1*t+0.5*a*t^2가 나오죠. 가속도 방향은 그림 위에 그렸습니다. 이제 B의 x방향, y방향 가속도 크기를 각각 c, d라고 잡아봅시다. 그럼 Bx=d+0.5*c*t^2이 되죠. 그러나 Ax-Bx가 직선형이므로 결국 a=c여야 합니다. Ay는 2d-0.5*b*t^2이고, By=v2*t-0.5*d*t^2인데, Ay-By 또한 직선형이네요? 그럼 b=d가 되네요? 그럼 결국 A, B는 둘 다 서로 같은 가속도로 운동하는 거네요?

t1=T라고 잡아버리고 B는 무시하고 A만 고려합시다. 문제의 속도 성분 조건과 평속을 적절히 잘 사용하면 x1은 결국 5d가 됩니다.

-화학2-

1번 - 정촉매를 넣으면 활성화 에너지가 낮아지므로 정반응 뿐만 아니라 역반응의 속도도 빨라지게 됩니다.

2번 - Fe(s)의 중앙에 원자 1개가 놓여있네요. 체심 입방 구조이죠. 그리고 C(s, 다이아몬드)는 공유 결합이고 CO2(s)는 분자 결합이고요.

3번 - 기준 끓는점이 높을 수록 분자 사이의 인력이 더 커집니다. 분산력은 모든 물질에 존재하고요.

4번 - 그냥 뺄셈 문제죠? C(s, 흑연) 1몰이 연소될 때 394 kJ의 열을 방출하니 2몰이 연소될 때 그 2배인 788 kJ의 열을 방출하게 됩니다.

5번 - 화학 전지에서 전자를 내놓는 쪽이 -극이고 받는 쪽이 +극이에요. - 전극의 질량은 감소하고 + 전극의 질량은 증가하게 되죠. 그리고 -극 쪽의 금속의 이온화 경향이 더 높은 것도 알아야 합니다. 아직까진 괜찮죠?

6번 - X의 증기 압력은 760-660=100 mmHg이고, Y의 증기 압력은 760-400=360 mmHg입니다. h는 두 증기압의 차인 260 mm겠죠.

7번 - 전기 분해에서 환원 반응은 -극에서, 산화 반응은 +극에서 일어남을 아셔야 합니다. 물은 산화 반응하면 산소 기체를, 환원 반응하면 수소 기체를 내놓습니다.

8번 - 약산인데, 이온화 상수는 온도가 일정하여 값도 일정할 테니 각각의 pH를 비교할 수 있겠죠. 즉, y>x입니다. 그리고 이온화 반응식 HA + H2O <-> A- + H3O+ 에서 OH-를 첨가하면 H3O+의 농도가 감소하여 정반응이 우세하게 일어나 A-의 양은 늘어나겠죠.

9번 - B, C의 분자량을 그냥 3, 4라고 잡고 PV=nRT를 쓰면 됩니다. 밀도요? 가, 나에서 총 질량이 4w, 5w고 밀도 상댓값이 각각 2, 5니 부피를 그냥 2V, V라고 잡으면 됩니다! 그럼 끝이에요.

10번 - 결합 에너지를 이용해서 HF의 생성 엔탈피를 구해줍시다. 결합 에너지를 쓸 때, 반응물에서의 총합에서 생성물에서의 총합을 빼야 생성 엔탈피가 나옵니다. 이제 생성 엔탈피를 통해서 전체 엔탈피를 구해야죠. 전체 엔탈피를 구하려면 생성물의 전체 생성 엔탈피 합에서 반응물의 전체 생성 엔탈피 합을 빼면 됩니다.

11번 - (가)에서 안정한 상이 기체와 액체라고 주어져 있는데, 상평형 그림을 보면 알다시피 t>-56.6이고 P1>5.1이어야 합니다. 이제 (나)를 보면, 온도는 t로 같고 역시 안정한 상이 2개라는데... 그럼 전체 부피가 늘어났으니 압력이 더 높아지진 않겠죠. 오히려 평형에 도달하기 전에는 압력이 P1보다 낮아있을 것입니다. 그럼 결국 평형 후 온도 t에서 안정한 상이 2개가 됐다고 했으니 P2=P1이 되는 것입니다. 여기까진 어렵지 않게 왔을 것입니다.

12번 - 이제 긴장감이 증폭됩니다. I에서 1 min마다 늘어나는 양이 절반씩 줄어드니 반감기는 1 min이라고 예측할 수 있습니다. 이걸 토대로 x를 구한 다음, 평균 반응 속도가 반응한 양/걸린 시간 임을 상기하여 답을 도출해내면 됩니다.

13번 - 숨이 턱 막힙니다. 침착하게 더 쉬운 (가)부터 분석합시다. 몰 농도는 용질의 몰수(mol)/용액의 부피(L)이니 용질의 질량은 1g임을 쉽게 알 수 있죠. 근데 (나)가 문제죠. 이때 용질 질량을 a (g)이라고 잡고 몰랄 농도가 용질의 몰수(mol)/용매의 질량(kg)임을 고려하면 a=0.22x임을 알 수 있어요.

이제 두 용액을 모두 섞고 물을 첨가한 새로운 용액을 살펴봅시다. 퍼센트 농도는 용질의 질량(g)/용액의 질량(g) * 100%이므로 정리하면 x=100임을 도출해낼 수 있어요!

14번 - Q0의 식을 주다니, 친절하셔라. 필요없는ㄷ [C]0=0.5 M일 때를 먼저 살펴보죠. 이때 Q0=1이므로 평형 상수 K=4임을 알 수 있어요. 이제 [C]0=x M일 때를 살펴보면 이때 Q0=16이어야 하니 x=2가 돼야 합니다. 이제 평형에 도달했을 때의 상태를 살펴보죠. Q>K이니 역반응이 우세적으로 일어납니다. 게산하면, A, B, C의 농도는 각각 3/4 M, 3/4 M, 3/2 M이므로 C의 몰 분율은 y=0.5입니다.

15번 - A의 초기 양을 64n이라고 잡읍시다. 그리고 A의 양이 절반씩 되는 순간마다 문제 조건에 부합하는지 살펴봅시다. A가 32n일 때 He 양도 32n이 돼야하는데, 이러면 전체 압력의 2/13 배라는 조건에 모순됩니다. 그럼 A가 16n일 때는 어떨까요? 그럼 He 양도 16n이 될 거고, 계산해보면 전체 압력의 2/13 배라는 조건과 잘 맞네요.

그럼 2t일 때 A의 양은 4n이고 C의 양은 30n, He 양은 16n으로 유지되겠죠.

He가 절반으로 줄어들어서 2t일 때 8n이 됐다고 답을 4/15 라고 적었다면 혼납니다... He는 반응에 참여 안 해요;;

16번 - 문제 풀 의욕이 확 떨어지는 숫자입니다. 끓는점 오름은 용액의 몰랄 농도에 비례하고, 증기 압력 내림은 용질의 몰분율에 비례합니다. B(aq)의 퍼센트 농도를 통해서 용질의 질량을 찾아낸 후, 끓는점 오름의 비를 통해 A, B의 몰질량의 비를 구합니다. 각각 2M, 3M이라고 잡죠. (몰 농도 아님) 이제 A의 증기 압력을 통해서 M을 찾아내면 게임 끝입니다. 답은 |2M-3M|=M=30 입니다. 힘드네요.

17번 - 개같은 산염기 평형 문제입니다. 각 점에서 첨가한 NaOH의 부피를 구해야 해서 골치 아픕니다. 먼저 그림에서 제가 찍은 점 T의 상황을 봅시다, 이를 통해 첨가한 OH-의 양을 구한 후, H+와 OH-의 반응을 통해 HA와 A-의 주어진 농도 비 (즉, 몰 비) 를 통해서 x를 구해줍시다. 이제 Q를 봅시다. 이때의 pH를 p라고 합시다. 그럼 [HA]와 [A-]의 비를 게산한 뒤 HA의 이온화 상수를 p에 대하여 나타내줍니다. 다음은 P입니다. 이때의 pH는 p 즉, Q에서의 pH랑 같다고 문제에서 주어졌습니다. [HB], [B-]의 비를 똑같이 구한 뒤 (y=2), HB의 이온화 상수를 구해줍니다. 그러나 두 약산의 이온화 상수의 비를 구하라고 문제에서 요구하고 있으므로 구하면 a/b=8입니다. End.

18번 - 2023 수능 20번이랑 비슷해보입니다. 몰론 그 문제보단 좀 가볍죠. 우선반응식으로 부터 A, B의 분자량 비가 1:2라는 걸 알아낸 후, 초기 상태에서의 A, B의 질량 비를 1:14라고 잡으면 A, B의 몰 비는 1:7이 됩니다. 계산 편의를 위해 각각 1몰, 7몰이라고 잡겠습니다.. 전체 질량은 15g으로 일정하므로 주어진 밀도 상댓값을 통해 I, II에서의 부피는 5L, 7.5L가 됩니다. 질량 비가 주어진 II에서의 몰수를 구하면 A, B는 각각 9몰, 3몰이 됩니다. 그럼 이때의 K2=5/18임을 알 수 있죠. PV=nT를 통해서(R 생략) P=1.8임을 도출해내면, I에서의 전체 몰 수도 구할 수 있겠죠. 초기에서의 전체 몰수가 8몰이고 I에서의 전체 몰수가 9몰이니 I로 갈 때 역반응이 우세하게 일어나서 결국 A, B는 각각 3몰, 6몰이 됩니다. 그럼 질량 비는 3:12 -> x=4가 나오게 되고 K1=10/3이라는 것도 알 수 있습니다.

19번 - 처음 보고 "화학1인가..?" 라는 생각이 들었습니다. 아... 이걸 어떻게 설명드려야 할까요....??

우선 A, B의 초기 몰 수의 합은 n-0.5 몰이란 건 알겠고요... 여기에서도 특수한 경우를 적용해야 할까요? C, D의 부분 압력 비가 최대가 되려면 A, B가 모두 반응하도록 설계해야 한다거나.. 그럼 A, B의 몰수는 각각 n/3-1/6 몰, 2n/3-1/3 몰이므로 반응 뒤 C, D의 몰수는 각각 n/3+1/3 몰, 4n/3-2/3 몰이고 PD/PC의 최댓값이 2라고 했으니 계산하면 n=2가 나옵니다. 그럼 이때의 a=1/4가 됩니다. 초기 몰 수는 A, B, C가 각각 0.5몰, 1몰, 0.5몰이기 때문이죠.

이제 A의 초기 몰 분율이 9a/5=9/20일 때를 살펴봅시다. 이때 A, B, C의 몰 수는 각각 9/10 몰, 3/5 몰, 1/2 몰입니다. 그럼 반응 후 A의 양은 3/5 몰이 되죠. A의 부분 압력을 구해야 하는데 우리가 아직 안 쓴 게 있죠. 초기 상태에서의 전체 압력이 1 atm이라는 것을요. PV=n (T는 일정하니 RT 생략) 에 따라 V=2L라고 잡읍시다. 그러면 A의 부분 압력은 3/10 atm이 됩니다! 따라서 답은 2번입니다! 

20번 - 마지막입니다. 다 필요없고 (가), (나)에서의 전체 양을 각각 40n, 48n이라고 잡읍시다. 그리고 2 min마다 증가하는 데이터의 크기가 (가)에서 2배씩, (나)에서 4배씩 증가하므로 반감기는 (가)에선 2 min, (나)에선 1 min이라고 추측할 수가 있겠습니다. (나)에서 초기 상태의 A의 양을 16N 몰이라고 하겠습니다. 그럼 B의 양은 48n-16N 몰이 되겠죠.

여기서 부분 압력의 비를 나타낼 때, 단순하게 몰 비라고 생각하시면 안 되는데, 각 용기에서의 온도가 다르기 때문입니다. 따라서 (가)와 (나)에서 물질이 n몰일 때 부분 압력을 각각 n atm, np atm이라고 정의하겠습니다. 그럼 제가 위에서 적은 것처럼 5n=3Np임을 알 수 있죠. 끝났네요, 4 min일 때 (가), (나)에서의 C의 양이 각각 30n 몰, 15N 몰이므로 부분 압력 비는 30n/15Np=30n/25n=6/5가 나옵니다. 따라서 답은 1번입니다.

Note: 해설에 오류가 발견될 시, 언제든 수정될 수 있습니다.