[마약 칼럼] 직관을 의심하라(수정)

호오...

헉 ..문과생은 이해못해도되죠 ..?

이과생도 꼭 이해해야하는건 아니에요ㅎㅎ

근데 이과라면 두번째껀 앵간하면 다 알죠

문과라죄송합니다 그래도 시간나면읽어보도록할께요 나름재밌을것같음

감사합니다

티쳐가 돌리시는 프로그램 이름ㅇ 뭐에요

데스모스요ㅎㅎ

죄송한대 마지막 문제에서 x=1일때 좌미분계수와 우미분계수가 달라서 미분 불능이다 라고 하면 틀린건가요?

좌미분계수는 도함수의 좌극한과 다른 개념입니다. f'(x)는 f(x)의 미분계수를 함숫값으로 갖는 함수이기때문에 마지막 문제처럼 f'(1)=2 라는 값이 존재했다면 f(x)의 좌우 미분계수 둘다 2라고 보는게 맞습니다. 본문에 말했듯이 불가능한 상황이긴 하지만요.

어떤 부분이 다른 개념인가요??

도함수를 구한 다음에 좌극한을 취하는 것과 미분계수의 정의에 해당하는 극한식에서 좌극한을 구한 것의 차이입니다

혼긱대님 그 점에서의 미분계수는 미분계수의
정의로 찾아야 함. 도함수의 극한값으로 판별 ㄴㄴ 하지만 교과과정에선 편하게 하세요

그렇다면 문제풀때 f(x)가 미분 가능하다고 주어져 있으면 f'(x)가 연속이란 조건을 확인 안하고쓰면 안되는건가요?? 아니면 그냥 이런게 있구나... 하고 연속이랑 조건을 사용해도 되는건가요?? 물론 수능범위 내에서용

수능범위에서 저 반례에 해당하는 함수를 출제할 가능성은 거의 없다고 봅니다. (물론 출제해도 제 책임은 아닙니다....)

조금더 안전하게 문제가 되는 위치에서 f'이 불연속이 될 때 사이값정리를 만족할 가능성이 없다면 연속이라 생각할 수 있습니다.

사잇값정리는 함수가 유계폐구간에서 연속임을 가정합니다. 따라서 본문의 '정리'라기 보다는 '성질'이라는 표현이 옳습니다.

옳은 지적입니다. 수정했습니다.

미분가능하면 연속함수인게 맞습니다. 칼럼의 내용은 f가 미분가능하다고 f ` 이 연속이라는 것을 보장할 수는 없다. 다만 f ` 이 사잇값성질을 만족하는 것은 보장할 수 있다는 것입니다.

또한, 위에 댓글에 적었듯이 개인적으로는 수능에서 f 가 미분가능한데 f ` 이 연속이 아닌 상황을 줄 것 같지는 않습니다. 장담은 못하지만

흑흑흑흑 저는 그냥 직관에 넘어가겠습니다...ㅠㅜ미분가능하면 연속이야!!

제가 수학을 잘 못해서 이해가 안 가는것인지..
저는 사잇값 정리를 닫힌구간에서 연속이어야 한다고 알고 있는데요
첫번째 예시로 들어주신 함수가 x=0에서 불연속이면 애초에 사잇값정리을 사용 할 수 없는거 아닌가요...?

맞습니다. 사잇값 정리라 표현한 제 잘못입니다. 사잇값정리를 쓰기 위한 전제에 해당하는 연속조건을 빼고 결과만 가져다 쓴 것입니다. 그러니까 `f(c)=k 인 c가 존재한다`는 서술부분만을 의미합니다. 위에 댓글에 지적처럼 사잇값성질이라고 표현하는게 더 적절했을 것 같네요.

그런 의미로 이해하면 되는거였군요
좋은 칼럼 감사합니다!

표현상의 미흡함이 있어 칼럼의 내용을 약간 수정했습니다.

짱멋지네요ㄷㄷㄷ 수험생때 수학 진짜 싫어했는데 뭔가 금방 수학의 참맛을 본 느낌...
잘 읽었습니다!

감사합니다 ㅎㅎ

ㅂㄷㅂㄷ.....!!!

?!?!
팔로우 수에서 졌다고 ㅂㄷㅂㄷ하는 중인듯

f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이다는 맞는거죵? 명작에서 본것같은데 기억이‥

넵

상당히혼란스러운데 정리부탁드립니다.. 마지막내신문제에서 검은색일때, 파란색과빨간색의경우로 fx를구했고 각각 동그라미 123으로 미분가능성판정을했습니다. 1과3은 동치라고생각합니다
이것이맞은지모르겠습니다 내신문제저건 미분불가능한거아닌가요?
근데또 2처럼 f'(a)가존재는 fx가 x=a에서 미분가능 과동치아닌가요?? 도움부탁드려요

애초에 검은색을 만족하는 f(x)가 존재하지 않기때문에 파란색이든 빨간색이든 잘못된것입니다. 파란색과 빨간색 경우를 다시 미분해보시면 알겠지만 f `(x) 의 그래프가 검은색으로 돌아오지 않고 x=1에서 구멍이 뚫립니다.

칼럼의 내용이 바로 이 부분을 설명한 것입니다. 검은색 경우에 해당하는 f `(x) 라는 것은 존재할 수 없다는 것이죠.

그렇죠 x=a에서구간이나뉘는함수는 x=a를 원함수에서 어느한쪽이 포함해도 미분한도함수는 두구간둘다 포함하지않죠..
그렇다면 일반적으로존재하는 (x)에서 123으로 미분가능을따지는 방법 모두 옳은것맞나요?

3번 풀이가 정확하며 1번과 2번은 같은 얘기를 하고 있는데 2번의 경우 미분하실때 x범위에 등호가 빠지는게 맞습니다. 고교과정에 있는 함수들은 99.99% 미분가능할때 도함수가 연속하기때문에 1번2번3번 모두 같은 결과가 나오게 됩니다. 수학적으로는 3번으로만 풀어야 정확하지만 풀이의 편리성에서 1번2번이 훨씬 낫기 때문에 대부분의 해설강의에서는 1번2번으로 설명을 합니다.

감사합니다
미분가능성을 입증하기위해서는 x=a에서 미분계수의정의의 극한값이존재함을 보여야하는데,
고등수학의 함수?에서는 미분가능하다면 도함수가연속이기때문에1,2처럼 그지점에서에서는도함수의연속을따진다는거군요

실제론 미분가능하다고해서 연속성이보장돼지않으므로 엄밀하게 1,2풀이는틀린거구요

네 맞습니다.

잘 정리해주셨네요 sin(1/x) 넘나 친숙한것..

감사합니다 ㅎㅎ

1번 정석에서 저 문제 보고 원함수와 도함수의 관계때문에 진짜 헷갈렸는데ㅜㅜ 그때 봤으면 훨씬 좋았겠지만 지금 한번더 정리할 수 있게 해주셔서 감사합니다ㅎㅎ
2번 명제의 역인 "f'(x)가 연속이면 f(x)가 미분가능하다" 명제는 증명하는 게 연세대 수리논술로 나온게 기억이 나네요ㅋㅋ

감사합니다!

맨날문제만들때 찝찝한부분인데 지금은 성당이라ㅠ 미사끝나고 한번 정독해보겠습네다 감사합니다

오랜만이십니당 ㅎㅎ

그럼 고딩과정에서 함수f가 미분가능하면 그 도함수는 연속함수라는것을 전제로 깔고가도 고등과정에선 아무런 문제 없는건가요?

나온적은 없고 나올 가능성도 거의 없습니다만 보장을 해드릴 수 없습니다. sin(1/x) 꼴의 함수는 삼각함수가 아니기 때문에 고교과정이 아니라고 볼 수도 있지만 1/x 과 sinx의 합성함수로 생각한다면 교과과정이라 볼 수 있습니다. 다만, 칼럼의 내용을 사전에 배우지 않은 학생이 도함수의 연속성과 관련해서 스스로 판단하기에는 무리기 때문에 굳이 이부분을 저격해서 출제할 것 같지는 않습니다.

저거 우진쌤이 개싫어하는 그래프다ㅋㅋ

몰라도 수능을 준비하는데 지장이 없기 때문에 수능강의에서는 배제하는게 적절할 수 있습니다. 마지막 예제 같은 함수가 존재할 수 없다는 것을 알 수 있다는 점에서 한번쯤 읽어두는 것도 좋습니다.

잘 읽었어요!!

감사합니다~!

2번문제는 김센세깨서 명쾌한 해설 해주셨는데...
잘보고갑니다 ^^ 김센세님이신가요? ㅋㅋㅋ

아닙니다 ㅋㅋ 개인적으로 아는 사이신듯...

sin(1/x)에서 x=0부근에 사이값 성질이 어떻게 만족되나요?

사실 대학과정에서 배우는 아르키메데스 성질을 알아야 엄밀한 증명이 가능하지만 직관적으로는 고등학생도 충분히 이해할 수 있습니다. 0근방의 구간 (a,b)에 대하여 이 구간에 포함되는 더 작은 구간에서 해당함수는 1부터 -1까지의 모든 실수값을 함숫값으로 가진다는 것을 제가 그려놓은 그래프를 통해 짐작할 수 있습니다. 0에 가까워질수록 더 자주 진동하기때문입니다. 따라서 사이값정리가 항상 성립할 수 밖에 없습니다.

진동을 무한에 가깝게 해서 모든 1에서 -1까지 모든실수값을 함숫값으로 가지는건가요?

네. 증명도 가능하고 직관적으로는 그렇게 이해하시면 됩니다.

위에 또 제가 댓글로 사이값정리라고 썼네요. 사이값성질로 정정할게요.. 하도 사이값정리를 가르치다 보니 입에 붙어버린듯;;