공부할때 유용한 두번째 팁 : 연관된 개념을 찾아서 연결하면서 공부하세요.
게시글 주소: https://w.orbi.kr/00011497182
공부할 때 유용한 기본적인 팁 : http://orbi.kr/00011496737
이 글에서 개념을 연결해서 정리하라는 말을 했어요.
위 글에서도 말했지만,
개념의 공통점과 차이점을 찾아 정리하는것.
이 매우 중요하며, 그만큼 중요한 것이
개념과 개념간의 연관성을 찾아 정리하는 것.
입니다. 이 두가지를 목차를 통해서 공부를 하시면 충분히 독학 가능하실거에요.
그런 의미에서 어떻게 해야 실제로 정리할 수 있을지는 예전에 글로 쓴적이 있는데 재업합니다.
dx의 의미는 무엇일까요? 분명 미적분에서 많이 봤습니다.
합성함수의 미분법, 치환적분법..등 많이 쓰이는 식입니다. 이것의 의미에 대해 한번 살펴볼게요.
먼저 미분계수의 정의에서 dx는 아주 작은 x의 변화량입니다.
이 식에서 h는 순간적인 x의 변화량을 뜻하며 다르게 표현하면 입니다.
분자에 있는 f(a+h)-f(a)는 순간적인 y값의 변화량입니다.
또한 어떤 x값에서의 미분계수가 함숫값이 되는 함수를 생각할 수 있는데, 이것이 도함수입니다.
이렇게 쓰여지고, 이 식에 의해서 도함수를 실제로 유도할 수 있었습니다.
이제 f(x)의 도함수를 구하는 것을 f(x)를 x로 미분한다라고 표현하게 됩니다.
정리하자면, 에서 dx의 의미는 두가지입니다.
1. 순간적인 x의 변화량
2. x에 대해서 미분하라는 기호.
이제 교과서의 미분법 중 합성함수의 미분법, 역함수의 미분법과 매개변수 미분법을 살펴봅시다.
합성함수의 미분법 :
역함수의 미분법 :
매개변수를 이용한 함수의 미분법 :
2의 의미를 생각해보면, 이 식의 의미는 y를 u로 미분한 것에, u를 x로 미분한것을 곱하는 것입니다.
하지만 1의 의미로 생각해보면 du는 아주 작은 u의 변화량입니다.
아주 작은 수로 생각하면 사칙연산도 가능하지 않을까?
라는 아이디어로 곱셈으로 연산해주면 좌변의 식이 나옵니다.
역함수의 미분법과 매개변수를 이용한 함수의 미분법도 마찬가지의 방법으로 이해할 수 있습니다.
이제 적분을 한번 봅시다.
부정적분의 정의는 미분의 역 연산입니다.
어떤 함수 f(x)의 부정적분이란 미분해서 f(x)가 나오는 함수를 뜻합니다.
식으로 쓰자면 이 됩니다.
여기에서의 dx란 x에 대해서 적분해라 하는 뜻입니다.
부정적분의 의미는 여기까지입니다. 그저 미분 거꾸로의 의미입니다.
이제 정적분의 정의를 생각해봅시다.
정적분의 정의는 함수 f(x)가 구간 [a,b]에서 연속이고 항상 f(x)>0일때
구간 [a,b]를 n등분 하여 양 끝점을 포함한 분점을 차례대로
이라하고
각 소구간 의 길이를 라 할 때 n등분 했으므로 소구간의 길이는 일정합니다.
이렇게 말이죠.
이때 는 를 밑변으로 하고 k번째 분점의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이입니다.
그렇다면 의 뜻은 함수를 n개의 직사각형으로 쪼갠 후 그 넓이를 n개 모두 더했다는 뜻이며,
구분구적법에 의해 는 a부터 b까지의 y=f(x)의 그래프와 x=a, x=b로 둘러싸인 넓이를 뜻하며
이렇게 표시합니다.
요약하자면 여기서 dx의 의미는 결국 밑변의 길이, 즉 x의 변화량입니다.
적분에서도 dx의 의미는 두가지입니다.
1. x의 변화량, 즉 밑변의 길이
2. x에 대해 적분하라는 기호
여기서 중요한 정리 하나가 탄생합니다.
바로 '미적분학의 기본정리'입니다.
미적분학의 기본정리의 핵심은,
x에 대해서 정적분한 것을 다시 미분하면 원래함수 f(x)가 된다는 것입니다.
우리는 미분하면 f(x)가 되는 함수를 배웠습니다. 바로 부정적분이죠.
부정적분도 미분하면 f(x)가 되고, 정적분도 미분하면 원래함수가 됩니다.
즉, 부정적분과 정적분이 같을 수도 있다는 것입니다!
이것으로 인해 우리는 정적분의 계산을 극한이 아닌, 부정적분으로 할 수 있게 되었고
식으로 쓰면, f(x)의 부정적분중 하나를 F(x)라 할때,
가 됩니다.
한번 더 생각해봅시다. 우리는 dx의 의미를 두가지로 해석했는데
1. x의 변화량
2. x로 적분하라.
1번의 의미는 정적분에서의 의미와 유사합니다. 밑변의 길이 역할을 하겠죠.
2번의 의미는 부정적분의 의미를 갖습니다. 연산기호죠.
이제 우리는 미적분학의 기본정리를 통해서, 1번과 2번의 의미가 같을 수 있음을 알았습니다.
이제 치환적분법에 대해서 알아봅시다.
에서 이 함수는 적분하기 어려운 형태입니다.
우리는 y=sin x 혹은 y=x+3 과 같은 x에 대한 함수를 적분할 수 있었습니다.
하지만 y=sin (2x+3)은 적분하기 힘든 것이, 적분공식에는 없었기 때문입니다.
(사실 적분이 어려운 이유는, 미분법은 도함수를 유도하는 공식이 있었지만,
적분에서는 공식이 없이 미분 거꾸로로 정의되기 때문입니다.)
이제 위 식에서 g(t)를 x로 치환해봅시다.
가 됩니다.
여기서 문제가 발생합니다. 적분하려고 하는 함수는 x에 관한 함수인데, 기호는 dt입니다.
우리는 dx가 필요합니다. 적분하려고 하는 함수의 문자는 x이기 때문입니다.
그래서 dx를 만들어주고 싶습니다. 한번, t에 대한 x의 변화량을 생각해봅시다.
인데, 이때, dt는 순간적인 t의 변화량이므로
양변에 같은 dt를 곱해도 식이 성립합니다.
따라서 가 되며 식은
가 됩니다. 단 c는 적분상수입니다.
이것은 dx가 x에 대해 적분하라는 연산기호이기 때문에,
치환을 해주어 x에 관한 함수로 만들었을 경우, 연산을 위해 dx가 필요하기 때문입니다.
정적분에서의 치환적분은 부정적분과 거의 비슷합니다.
결국 치환을 한 후 그 치환한 문자에 대해 적분할 수 있도록 기호를 바꾸어 주면 됩니다.
그래야 그 문자에 대해 적분연산을 할 수 있을테니까요.
하지만 dx의 의미는 x의 변화량입니다. 만약 t로 치환되어, dt가 생겨날 경우
t의 변화량은 x의 변화량과 다르죠. 그렇기에, 정적분에서 위끝과 아래끝이 달라집니다.
예를들어, 가 되는데, 이것은 이기 때문입니다.
(여기에서, 수식으로 계산해보면 달라질 수 있지만, 적분에서는 어떤 구간을 n등분한 것이 밑변이 됩니다.
즉 dt는 x에 따라 결정되는 t의 구간을 n등분한 것이 됩니다.)
dt는 어떠한 t의 구간을 n등분하여 나눈 그 구간 하나의 길이입니다.
dt는 정적분의 위끝과 아래끝으로 결정되기에, 자연스럽게 그 구간의 길이가 달라질 경우,
위끝과 아래끝이 달라집니다.
사실 dx의 의미는 어찌보면 쉬운 개념입니다.
하지만 미적분의 많은 부분에서 생각해볼만한 여지가 있는 개념입니다.
개념학습에서 이러한 부분까지 생각해보았는지 점검하세요.
이렇게 연관짓고 이어가며 정리해야 합니다.
스압이기 때문에 요약하자면
1. 목차 파세요.
2. 공통점 차이점 찾으세요.
3. 개념 연결지으세요.
4. 목차 한번 더파세요.
여러분 화이팅.
나중에 칼럼도 더올릴게요.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이감또좆박앗서 2
그래서우럿서
-
추석이라 공부가 안잡히네요 ㅋㅋ
-
뭐지 안 나온겅가
-
아무리봐도 디시로 갈 인재들인데 왜 여기서 지랄하는거냐 저리가라그냥
-
1~3회는 우효 나는 고능아 이러면서 풀었는데 4회부터 좀 무거워지는 느낌이..
-
최고로 받을수 있는 점수나 등급이 어떻게될까요? 아예 개념만 아는건 아니고...
-
어그로 끌려고 일부러 이상한 말 쓰는 게 아니라 진심으로 그렇게 생각하는 거임.
-
수필 같은데 0
묘사가 생생함
-
커즈아아아아이 1
대입보이
-
1년만에 오는데 대부분 첨보는 사람 뿐이고 사실 그 사이사이에 눈팅도 쪼금햇는데...
-
성묘 포기 0
잘래
-
대학 졸업 요건 2
골 때리는 거 있는 곳은 조심.
-
집 가자 4
차례 지내러
-
내년부터 본격적으로 아부지 일 배워야 돼서 학교는 걍 졸업장만 따면 되는데 학점...
-
기계공을 가도 5
연애할 새끼들은 다 함 과가 문제가 아님 ㅇㅇ
-
8학군에 그래도 좀 유명한 광역 자사고 ㅈㄷ고 다니는 고2 학생입니다. 2학년...
-
제사 끝 3
할아버지한테 작년에 수능좀 잘보게 해달라고 빌어봤는데 효과가 없었...
-
한그릇 뚝 딱
-
할머니집인데 1
빨리 가서 공부라도 하고 싶다 심심
-
9모 2컷이라 너무 어려우면 좀 그래요 수학이요
-
메카니카 화2 0
메카니카 화2는 이제 못 구하나요...중고책도 없네요 ㅠㅠ
-
주제파악 아. 나는 주제파악을 못했나
-
우리는 왤케 2
친척이 적을까
-
풀실모 시작 2
국어-이감 6-2 수학 듄모 s2 영어-듄모 s2 경제-서바 사문-전국서바 드가자
-
아수라+이감 파이널 힐 생각이였는데 아수라+이감+상상만해서 주간지들은 버리는 거 어떰?
-
ㄱㄱ
-
일단 오늘은 절대 못하겠다
-
낮2인 사람이 풀어도 되나요?
-
국어 1이신분?? 13
평가원 국어 1 중에 이감 3등급 나오는 사람있나여..?? 하…이감 최빈값이 3등급 ㅠㅠㅠ
-
ㅇㅇ?
-
승리쌤 첨들어봐서 어떨지 궁금함 근데 책 시켰는데 본책도 안오고 총정리 1~3만 온거 실환가
-
프사 맘에든다 2
좋아 좋아
-
민족 명절에는 0
우리 선조들이 즐기던 제주첫물 녹차쌀푸딩을 먹어줘야. 제사를 안 지내는 것이 가장...
-
뭐가 더 어려움? 투표좀
-
현역이면 불가능 하겠지만 n수생이라면 ,
-
수능 때 수험번호 잘못 쓰면 정확히 어떻게 되나요? 7
담독관 선생님께서 제출 전에 알려주시나요? 해당 과목만 빵점처리 되나요 아니면...
-
거의 사라지지 않을까 싶음 옛날처럼 워낙 친인척들과 교류도 없고 당장 우리 부모님...
-
상남자특 3
추석에도 빡공
-
커피를 마셔볼까 4
아침에는 커피지
-
이건 예의가 아닌데
-
9평 기준점 3
사람들 국수 뭐 물어볼 때 9평 어쩌구 저쩌구 이런 거 적는데 올해 9평이 실력...
-
다음날에 이러이러한걸 해야지! 같은 기대감이 사라지니 잠을 자기가 싫어짐 그래서...
-
이런 식의 정보 서술만 하고 왜 그런지 납득할 만한 설명은 과감하게 패스함 즉 이...
-
딱 일찍일어나서 오후단과 전까지 듣고 가면 될거같은데 근데 그러면 수능 전주...
-
피곤해죽것네....
-
할무이집 오니까 0
오기싫었는데 오니까 포근하고 좋네 곧 할머니표 백첩반상먹는다헤헿
-
우리 아파트에는 4
초 보 최선을 다하겠습니다 라고 유성매직으로 A4용지에 써서 코팅한 다음 무려...
-
언미영물지 지금 성적이 중2 높2 80초 1~2진동 1컷 이상 정도되는대 수능때...
-
ㄹㅇ 그랬으면 좋겠어요!
-
에휴이 10
올라가볼까요?
읽었어요???ㅠㅠㅠㅠ
잘 읽었습니다~ 여태까지 목차는 아무 생각 안하고 넘겼는데 생각해보고 넘겨야 겠네요
감사합니다.
가독성이 떨어져서 안읽으시는듯한데.. 꽤 좋은내용인데 읽어주시죠..ㅠㅠ
좋은글 올려주셔서 감사합니다. 가독성이 좋고나쁜건 우리들이 판단할문제가 아니라봅니다.
정성껏 칼럼 올려주시는것만 해도 수험생입장에서 받아들이고
본인들이 꺠우쳐가야죠.
다음 칼럼에는 PDF로 도 첨부해서 글과 올려주시면
우려하시는 가독성 문제는 해결될것같습니다.
칼럼은 인쇄해서 뽑아서 꺠우치는 맛이 있거든요~
항상읽고 갑니다~
아.. ㅂㄷㅂㄷ ㅇㅋㅇㅋ 다음에는 한글파일로 만들어볼게요
좋은글 감사합니닷!
감사합니다!
저같은 독학러에게는 정말 좋은 조언입니다.
독학생...ㅠㅠ 응원합니다.
댓글 달려고 로그인해ㅛ습니다!!좋은 글 감사합니다~
헐.... 감사합니다.
호오... 제가 하던 방법과 동일하네요
제가 하던 방식이 맞다는걸 확인하고 다시 열심히 해보겠습니다
이거 공부 천재들이 하는 방법인데...
님도 공부천재?
지금 일반물리학 인강듣는데 거기 선생이
전국 차석한 사람이에요.
근데 그 사람이 하는 말이랑 똑같네요.
개념간의 연결중요. 너무많은 정보를 케바케로 정리하기 힘드니 공통점으로 묶은후 차이점으로 분류.
제가 보기에 님이 노력해서 공부를 잘한것도 있지만
공부천재들의 관점을 님이 깨우쳤든 원래 갖고 있든
가장 공부에 최적화된 관점을 가졌기에 다른 사람들이 그토록 원하는 기적이 님한테 일어난거 아닐까 생각해봅ㄴ다. 굉장히 좋은 글이네요
그냥 그렇게 해야 제가 이해가 가능했었던것 같아요.
그게 특별한건 아닙니다.