갑자기 써보는 '변분법이란?'
게시글 주소: https://w.orbi.kr/00030927696
참고: 수능 수학에 쓸다리 하나도 없는 내용임
변분법은 어떤 수학적 문제를 해결하는 방법이며 그 문제는 아래와 같습니다.
문제: 아래의 가 최소(또는 최대, 좁게 보아서는 극소나 극대)가 되는 함수 를 찾아내는 것
여기서 는 함수 가 에 의존한다는 것을 의미하며 의 형태는 이미 알고 있는 상황입니다.
여기에서 상황을 더욱 한정시켜 과 은 fix되어 있다고 생각하겠습니다.
얼핏 보면 ‘그냥 미분하면 되는 것 아니냐’라고 하실 수 있겠지만 이 문제는 값을 찾아내는 것이 아닌 함수의 형태를 찾아내는 것이기 때문에 그리 간단하지 않습니다.
이 문제를 해결하기 위한 방법이 바로 변분법(Calculus of Variations)입니다.
찾으려는 와 약간 모양이 다른 함수는 값을 증가시킬 것입니다.
(찾으려는 함수가 를 최소화시키는 함수이기 때문에)
찾으려는 에서 약간 벗어난 이 함수의 형태를 다음과 같이 나타내겠습니다.
가 우리가 찾으려는 함수이며 는 을 만족시키는 임의의 함수입니다.
또한 는 구간 내에서 미분 가능합니다. 그림으로 보면 아래와 같습니다.
다시 말해 는 에서 최소(극소)값을 가지며 이라는 뜻입니다.
는 편미분을 의미하는데 여기에서 다른 요소는 변화시키지 않고 만 변화시킬 때의 값이라고 보시면 편하며 이외의 변수를 상수로 취급하여 미분하면 됩니다. 이제 미분을 진행해보면
입니다. 겁먹지 마십시오. 간단한 합성함수 미분일 뿐입니다. 앞쪽에 곱해진 것은 겉미분, 뒤쪽에 곱해진 것은 속미분입니다. 그런데 여기서
이므로 는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
여기서 두번째 항만 따로 적분하면 (부분적분)
가 되어 는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
그런데 여기에서 를 임의의 함수라고 하였으므로 가 0이 되려면 앞에 로 묶인 부분이 0이 되어야 합니다.
위 식을 오일러 방정식이라고 합니다.
가 미분 불가능한 경우는 고려하지 않습니다. (적어도 물리학과에선 그럽니다.)
그럼 이걸 대체 어디에 써먹느냐?
맨날 최단강하곡선이라면서 정작 진짜 그런지는 안알려주는 사이클로이드가 최단강하곡선임을 보일 수 있습니다.
만 귀찮으니 다음에 풀어드리죠.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
수능 두달전 느낌이 안나잖아;;; 나 아직도 선풍기없으면 잠을못잔다.. 날씨체감상...
-
이번주주말힙페가고다음주주말 엠티 갔다가 템플스테이 가고 그다음주말 봉사활동 가야함
-
고2 모고 최소 몇까지 가능하다고 생각하시나요 영어 4-5 나오는 허수인데 구문공부...
-
근데 허수를 벗어날 수 없어서 수시 제발 붙여달라고 조상님 38161명께 비는중
-
아수라 뭔가 0
학습 방향 설정만 봤는데 끓어오른다
-
좋아요.. 눌러야겠디?? 혹시라도 잘못 정리한게 있다면 댓글 달아주세용 1단원...
-
형 밥 먹고 온다
-
나 이제 자러 갈게 내일 다시 자극적인 글 생각해올게
-
정신나갈꺼같다
-
나무위키에 김세홍좀 검색하려고 구글켰는데 나무위키라는 말을 까먹어서 끙끙앓다가...
-
사탐 안받는다는데 이거 진짜임?
-
현역 4?5? 재수5등급 받고 삼수부터 쭉 1만받음 걍 공부법문제임 공부량은...
-
근데 팩트는 2
조선은 일본이 아니라도 망할 나라였다는 거임….
-
보름달이 밝구만 1
밝다 소원 빌어야 하는데
-
누가 자꾸 눈에 담배연기 넣는거같음
-
나였으면 내 대에서 그 빌어먹을 유전자 끊어버렸음
-
영어는 사람 ㅅㄲ면 최소 2등급은 나와야 하는 거 아님? 워마 2000 영단어 다...
-
선착순 5명 15
1000덕 은테 기념 ㅎㅎ
-
밥 먹으니까 지금 딱 자면 달콤할 것 같은 잠 온다…. 이 잠을 못 자다니…..
-
윈드러너, 몬스터 길들이기, 템플런
-
이미 고백해버려서 어쩔 수 없구만 크리스마스에 운명처럼 100일 되는 건 아쉽지만 없는걸로
-
애초에 남자가 X 두개 가졌으면 유전 걍 껌이었겠지 솔직히 얘네가 X 한개만...
-
결국 명확한 근거 제시를 못하는 낭설에 불과하지만 그렇다고 확실하게 아니라고 하기도...
-
좀비고 아는 사람 19
초2~초6 때까지 겁나 많이해서 85렙인가 그정도됐엄ㅅ는데 올만에 깔아보니까 뭔...
-
자세히 반박하는 논저로는 허수열 교수의 "개발 없는 개발"이 있으니 꼭 읽어 보시길 바랍니다
-
질문) 강대X 3
주문하면 서킷x는 책 형태로 묶여서 오나요? 지인선n제처럼
-
블랙1회 : 47 시간 빡빡했고 기출베이스에 조금씩 매운맛 넣은건데 9모보다 게...
-
화요일 6시업뎃 예정이면 아침에 국어공부하는 사람들은 수욜날 강의듣고 목금토일월...
-
함들어서 하지말라는건가요 아님 비효율적이라 하지 말라는건가요?
-
당사자들이 내 글 접하면 큰일 남
-
사연없는 정시파이터는 없더라
-
맞춰보세요
-
일단 본인은 100점 1등급 몇 퍼센트 나올까 작수가 4.7%였음
-
NFT 0
대충 두탕이 사진
-
좀 골때리는 일 있었음
-
첫 국어 1등급 수능에서 찍을때 9평때도 3받고 좌절하다가 성적표받고 남은 기간...
-
뭘 다시 자꾸 써오래 시@봉방것아
-
...
-
살았다
-
고정 50박는 쌉고능아 아닌이상 그냥 국수에서 안정적으로 잘 맞고 들어가는게...
-
일본이 조선 문명화 시켜주는 걸 도대체 왜 막은 건지 모르겠음. 아 뭐 731...
-
사촌언니가 1학년 때 학점은 조금 낮아도 괜찮다면서 8
자기의 학점 가장 낮은 학기를 보여줬는데.. 3.76/4.5였다. 난 슬퍼졌다.
-
아는 사람이 없어서 고백을 못함 가족이 없어서 추석에 갈 데도 없음 8수, 할 거지? 물론
-
안녕하세요! 대치예섬학원에서 수능 수학가르치고 있는 김지형T입니다. 열심히 수능...
-
피곤해
-
댓글창에 자기도 노베에서 시작해서 현역인데도 ~등급인데 재호님은 왜 안오르나요?...
-
안 풀리는 수학 문제를 풀다 답지를 보면, ??? 아니 ㅅㅂ 이걸 어케 생각해?...