한석원 실모 나형1권 2회 18번행렬문제 질문이요
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ㄷ번 어떻게 푸는지 좀 알려주세요;;
위에 ㄱ ㄴ 이용하는것 같긴 한데 잘 모르겠네요
그리고 문제 풀다보니까 BA하고 AB하고 같은걸 이용하는것 같은데 그거 두개가 같은지 어떻게 알 수 있는거죠??
ㄴ을 이용해봐도 행렬A(BA+E)에서 앞에곱해진행렬이 A가아니라 임의의 X라고 가정을 하면 BAX=XBA나와서 AB=BA인지 모르겠더라고요
답변부탁드립니다 ㅠㅠ
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ㄷ에 양변에 E+BA를 곱해보세여
그러면 좌우변이 모두 단위행렬댐
답변 감사합니다~ ㅋ
ㄱ은 쓸모가 없습니다 ㄴ을 이용해야 하는데 어떤 행렬의 역행렬은 하나 밖에 존재 할수 없다는게 전제가 됩니다. 그리고 ㄴ은 참이 됩니다. 즉 (E+BA)의 역행렬이 존재한다면 AB=BA가 성립을 합니다. 그리고 ㄷ을 봅니다.
ㄷ에서는 (E+AB)의 역행렬이 존재한다고 전제를 하고 있습니다. 그런데 (E+BA)의 역행렬이 존재한다면 그건 교환법칙이 성립하게 떄문에 (E+AB)의 역행렬이기도 합니다. 즉 (E+AB)or(E+BA)가 성립한다면 교환법칙이 성립합니다. 이제 ㄷ의 양변에 E+AB를 곱해줍니다. 그러면 중간에 B와 A가 걸립니다. 하지만 교환법칙이 성립함으로 뒤로 다 빼버립니다. 그렇게되면 양변에는 E=E라는 식이 나오고 주어진 식이 자명하다는 사실이 드러납니다.
답변 감사합니다 ~ ㅋ
정확히 얘기하면 ㄱ이 이용되는 겁니다
먼저 ㄷ의 준식에 양변에 (E+BA)를 곱합니다.
(사실 이과정이 가장 중요합니다. 이번 9월 모평 ㄱ,ㄴ,ㄷ의 ㄴ에서도 쓰이지만 준식이나 준식의 변형과정에서 역행렬 자체가 있을 때 거기에 원행렬을 곱해서 단위행렬로 만드는 변형은 매우 자주 출제됩니다. 가령 간단하게 EX) A=A^-1 를 A^2=E 로 바꾸듯이..)
그럼 E={E-B(E+AB)^-1 A}(E+BA)가 됩니다. 이 식의 우변을 전개하면
E=(E+BA) - {B(E+AB)^-1A(E+BA) 가 된고 여기서 ㄱ을 이용하여 우변의 맨오른쪽
A(E+BA)를 (E+AB)A로 먼저 바꾸면 E=(E+BA)- {B(E+AB)^-1(E+AB)A}가 되어 결국
E=(E+BA)-(BA)가 됩니다. 결국 E=E입니다.
그리고 위에 ith님의 풀이는 잘못되어있습니다. ㄴ과 ㄷ은 전제가 다른 상태에서 출발합니다. ㄴ의 전제는 E+BA의 역행렬이 A라는 것이고 ㄷ의 전제는 E+AB의 역행렬이 존재할 뿐 그것이 A인지는 모르는 상태이기때문에 함부로 AB=BA가 성립하지도 않고 E+AB의 역행렬이 E+BA의 역행렬과 같은지도 알 수 없습니다.
와 정말 감사해요 ㅠㅠ ㄴ에서 AB=BA이거 안되는거라고 계속 생각했는데 역시 ㅋㅋ
처음에 (E+BA)곱할려고했는데 계산식이 너무복잡해서 그냥 아닌가보다 하고 계속 뻘짓하고 있었네요 정말감사해요!!