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Inspector Javert [1005325] · MS 2020 · 쪽지

2021-03-13 14:39:34
조회수 9,229

어떤 문제가 "좋은" "어려운" 문제일까?(2편)

게시글 주소: https://w.orbi.kr/00036666209


오늘은 오르비 닉 Evolved slave 님과 함께 합작 칼럼을 씁니다.

1편에서는 기출을 통해 보는 문제에 대한 생각, 어떻게 그것이 적용되는지를 다룬다면

2편에서는 기출에서 벗어나도 그것이 유지되는 문제와, 그러한 문제를 푸는 것이 어떤 의미인지를 다룹니다.


아주 어려운 문제이니 풀어보시고 못풀어도 좌절하지 마시고

읽으시면 도움될 겁니다.


문제는 본글에 있고 밑에 링크는 1편입니다.


노예님께서 생각하는 문제라던지 기본적인 문제에 대한 틀은 너무 잘 제시해 주셔서 제가 이렇게 확장된 내용을 바로 펼칠 수 있지 싶습니다.


https://orbi.kr/00036664015





 




이다. 일단 확실한 것부터 해보는 것이다. a가 최대이려면 양수이지 않을까 라는 생각부터 해 보자. 일단 k가 0 이하일 때 조건을 만족하는 함수를 찾아볼 수 있을 것이다. k=0일 때 조건을 만족하려면  인 a에 대해서  이어야 할 것이다. 


그렇지 않으면 2개의 첨점이 생기게 된다. 이때 증가 조건에 따라 a=0을 얻으며, f(0)=0을 얻는다. 이때 g(x)가 서로 다른 2개의 해를 가질 경우, 극솟값을 갖는 점의 x좌표를 b, 두 해를 각각 a,c라 하자. 모든 음수 p에 대해서 p=k일 때도 조건이 성립하므로

Mg(b)>f(b)인 절댓값이 아주 큰 음수 M을 반드시 찾을 수 있다. 또한

 f(c)f^-1(c)=f(a)f^-1(a)=0인 경우가 불가능하므로(해가 0 하나뿐이므로) 반드시 함수

f(x)f^-1(x)와 Mg(x)는 Mg(x)가 감소하는 구간에서 교점 하나를 가지게 된다. 따라서 g(x)는 두 개의 해를 가지지는 않는다. 만약 g(x)가 실근을 가지지 않는 경우에는, 


,


로 문제를 바꾸어 생각할 수 있다. 이때 k가 어떤 양수라면 



가 되는 k가 무한히 많기에 삼중근이, 2중근이 무한하게 생겨서 조건을 만족하지 못한다. 함수의 최솟값은 0이기 때문이다.  하지만 k가 0 이하인 경우는 만족한다. 즉 우리가 구하는 a는 0보다 작지는 않다. 


그렇다면 a가 양수인 경우는 없는가? 아직 우리가 따지지 않은 “중근” 케이스를 따져 보면 결과가 나올 것이다. 



이라 하면 a가 0이 아닌 경우 이 역시 절댓값을 씌울 경우 미분불가능하게 되는, 증가-감소 교점이 생김을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 a=0이며, 이 경우 g(x)=x^2이다. 따라서 다음과 같다.



인 k가 최대가 되는 경우를 찾는 것 아니겠는가? 그러니 이렇게 해 보는 것이다.




흠 적분을 해 보면 어떨까?



적어도 어떤 c에 대해서 가 성립하므로, 즉 함수 가 최소인 x를 c라 함으로써





와 같이 쓸 수 있는 것이다. 


이런 경우에 우린 함수  을 고려할 필요가 있다. 

그 함수는 t=0에서 함숫값 0을 가지며, 따라서 g(t)=2kt와 t=0에서 교점을 가진다. 

이때 이 교점의 성질에 대해서 생각해볼 수 있다.  라 할 때, 


h(0)<2k이면 h(0)=2임을 계산을 통해 알 수 있으므로 1<k라고 가정하는 꼴이다.

이렇게 되면 함수  가 x=0에서 극댓값 1을 가지고, 따라서 함수의 최솟값은 1보다 작아진다. 하지만 최솟값 k가 1보다 크다고 가정했으므로 모순이다. 따라서 k<=1이며, 일단은 k의 최댓값은 1일 수도 있다고 생각한다. 따라서 k=1인 경우에 어떻게 되는지 살펴보자. 


일단 x=0에서  가 함숫값 1을 가지므로 x=0에서 최소가 된다고 생각할 수 있다. 이 경우 x=0에서 극소여야 한다. 즉  가 t=0을 기준으로 부호가 음->양으로 바뀌어야 한다. 하지만 h(0)=2=2k이므로 h’(0)=0이 되어 함수  가 t=0에서 적어도 변곡점은 가져야 직선이 “관통” 하여 부호변화가 일어나기 위한 필요조건을 만족한다.


조건대로 계산하면  라 할 때 a=0 또는 b=1을 얻는다.


여기부터 몇가지를 정리하고, 대수적으로 증명을 마치고 나면 문제는 쉽게 풀린다.


진짜 잘 풀지 않았는가? 이걸 보면 누군다는 대수적으로 푸는게 최고라고 외칠 것이고, 누군가는 기출문제의 아이디어에서 많이 벗어나 있어서 실제로 출제되긴 어려울 거라 말할 것이다.


그런데 이렇게 풀어보는건 어떨까?


를  와  의 곱으로, 즉

두 함수의 이른바 “기울기함수” 의 곱으로 보는 것이다.






칸이 부족한 관계로(너무 길면 사람들이 안 읽는다) 자세한 문제풀이는 생략한다. 요청이 많으면 하겠지만, 직접 해 보면 쉽게 알 수 있다. 


이젠 기출이 최고다 라는 말이 터져 나올 차례인가?

흥미롭게도 기출 문제집의 저자들도 이 문제를 못 풀었다. 그 사람들은 여러분보다 기출을 훨씬 더 잘 이해하고 있지 않은가? 그들도 실패했는데, 여러분들이 기출을 더 많이 본 상태에서 저 문제를 봤다면, 성공했을까?


참으로 이상하지 않은가?


분명히 공부할 땐 저러한 내용들을 얻는 건 다 마무리했다고 생각했는데. 문제도 다시 풀어보니 맞았는데. 어째서 기출의 아이디어든 대수적인 처리 방식이든 어떤 “아이디어” 가 이렇게 맥을 못 출까? 그리고 과연 이 문제는 의도가 있을까? 


사실 의도가 있다.


내가 처음 문제를 푼 방식은 이러했다.


기본적인 해석 자체가 어렵다. 역함수에 9차함수까지 엮여 있어서 미분법으로 해석하는 것 자체가 까다로울 수 있다. 따라서 우리는 개형을 살필 필요가 있다. 그렇지 않은가? 미분법이 안된다면 개형을 살펴야지. 개형을 살피는 것의 기본은 우리가 개형을 잘 아는 단순한 함수를 끌고 오는 것이다. 우리가 알고 있는 유일한 정보인 f(0)=0을 이용하면


 를


라 할 때  와 같이 쓸 수 있다. 이때 개형을 살피기 위해서 이차함수는 한쪽으로 빼 놓고, 그것과  의 곱으로 함수를 해석할 수 있다.

주목할 것은 여기에서 단순성이라는 기본 원리가 사용된다는 것이다. 단순하게. 이차함수로 생각하는 것이다. 



위 그림에서 이차함수의 극값을 C라 하면  파란색 함수, 즉의 극값은 1/c가 된다. 에 f(x)를 합성한 것이 이차함수의 역수이기 때문이다.


이렇게 그림을 그려서 생각해 보면 총 3가지 케이스를 생각할 수 있다. 이차함수 극값의 x좌표와 일치, 이차함수 극값 x좌표가 오른/왼 쪽에 있는 경우.


 이중에서 흥미롭게도 2가지 케이스에서는 최선으로 얻는 결론이 최솟값이 1보다 작다 이고(직접 해 보고 모르겟으면 댓글을 달자), 나머지 하나에서는 최솟값이 1 이하이다 라는 것이다. 초점을 잘 맞춘 결과이다.


이것을 따라가면 1번 풀이의 a=0, b=1과 동일한 식을 얻는다.


내가 문제를 만들 때 이렇게 생각을 했을까? 

난 이렇게 생각을 했다. 하지만 평가원은 이걸 가르쳐 줄까? 입을 완전히 닫고 있다.



설사 그걸 안다고 해서, 이 3가지의 서로 비슷한 난이도의 해설 중에 우위란 것을 정할 수 있을까? 아니다. 

결국 뭘까? 


결국 해설은 무의미하다. 더 정확하게는, 해설의 유일성은 무의미하다.

문제의 성격은 무의미하다.

기본적인 틀 안에 엮여 있기 때문에 어떻게 푸는지는 무관하다.

다만 자기에게 맞는 대로 하면 되는 것.

그러나 분명한 한계는 있다. 집합 단순화 원리나 대수적인 해석과 같은 방법은 여전히 고개를 끄덕이게 하지만, 그 유명한 기울기함수는 잃어버린 총알처럼 작용했다. 



깔끔하고 계산도 적고, 생각을 많이 한다라는 수능의 기본적인 틀을 지키면서 아무도 못 풀 정도로 고난도의 문제를 만들었는데, 셀 수도 없이 많은 변형문제(오르비에도 아주 많다)를 생산하게 한 “기울기함수”를 분명히 많은 사람들이 알고 있을 것임에도, 심지어 그것을 주제로 글까지 생산한 사람들도 이 문제를 기울기 관점으로 보는 데 실패했다.


그래서 여러분은 기출과 사설을 분리해서는 안된다. 기출과 사설을 분리하지 않으면서, 둘을 함께 보면서, 생각 자체를 강하게 만들어나가는 축으로 끌고 나가야 하는 것이다.


다만 생각을 통해서 스스로의 생각을 바꾸는 것이 중요하고, 어떤 것이 유일하고 정확한 생각일지는 생각할 필요가 없다는 것이다. 보다시피 기출만능론은 이 문제로 쉽게 부정이 된다.



그렇기에 



"생각을 많이 하게 하는, 오직 생각과 기존의 아이디어에서 출발하는 문제를 많이 풀고, 그를 또 생각해야 한다는 것이다. 그리고 그걸 하게 만드는 문제가 좋은 문제이다."


참고로 문제 답은 30이다

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