[한큐정리 by 조관T] 가오스 함수 그리는 법

안녕하세요. 오르비 인강 수학 조관 선생님입니다.
오늘은 가오스 함수에 대해 정리를 해보겠습니다.

가오스 기호 [ ] 의 의미는 다들 알고 계실거라 믿습니다.
[a]라고 한다면 a를 넘지않는 최대의 정수를 말하죠.
곧 a보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 값을 의미합니다.

[5.7]의 값이 뭐냐고 물으면 대부분 5라고 정확하게 말을 합니다.
하지만 [-5.7]이 뭐냐고 물으면 혼란스러워 합니다. -5인지 -6인지 헤깔리는거죠.
자, 수평선을 하나 그리고 정수눈금을 표시해보세요.
-5도 표시하고 -6도 표시하고 이제 -5.7이 어디에 위치하는지도 대충 표시해보세요.
-5.7 보다 왼쪽에 있는 수가 작은 수이고 오른쪽에 있는 수가 큰 수입니다.
곧 -5.7보다 작거나 같은 수 중 가장 큰 정수는 -6입니다.
곧 [-5.7]은 -6이 되는 것이죠.

암기를 하려고 하지 마시고 처음에 다소 시간이 걸려도 좌표를 통해서
이해를 하면 나중에 헤깔릴 일이 없습니다. 아무리 완벽하게 암기를 했더라도
시간이 지나면 잊혀집니다. 잊혀지지 않았더라도 수능 당일 엄청난 압박감 속에서
자신있게 암기해놓은 사항도 긴가민가 의구심이 들기 마련이죠.
하지만 수평선을 통한 방식 등의 이해위주의 공부는 절대 잊혀지지도 않고
헤깔리지도 않습니다. 항상 이해 위주의 공부를 하시길 바랍니다.

이제 아래에서 보이는 가오스 함수 3형제를 그리는 기법을 알려드리죠.



1번은 가장 대표적인 가오스 함수 형태죠.
그리는 방법은 단순합니다. 바로 대입입니다.
x에 0를 넣으면 0, 0.5를 넣어도 0, 0.99999를 넣어도 0입니다.
하지만 1을 넣는 순간 y값이 1이 됩니다.
같은 방식으로 x에 -0.1를 넣으면 -1, -0.5를 넣어도 -1, -0.9999를 넣어도 -1,
 -1를 넣으면 당연히 -1입니다.
하지만 -1.1을 넣으면 y값이 -2로 뚝 떨어집니다.
이렇게 대입을 통해서 계단형 가오스 함수를 그려내는 것입니다.

이것도 매번 나올때마다 위와 같은 대입 발상을 해서 그리면 점점 스피드가
빨라져서 어느 순간 그야말로 후딱 그려지게 됩니다.  


2번 함수를 그리는 발상은 2가지입니다.
첫 번째는 물론 대입입니다.
1번에서 알려드린 대로 숫자들을 대입해보면서 한번 그려보시기 바랍니다.

두 번째 방식도 대입이긴 한데 조금 세련된 대입이죠.
2번 함수의 x값에 정수가 들어가면 무조건 y값은 0이 나옵니다. 그런데 0보다 크고 1보다
작은 값이 x에 들어가면 [x]=0 이 됩니다. 결국 해당 구간에서는 y=x가 그려집니다.
1보다 크고 2보다 작은 값이 x에 들어가면 [x]=1이 됩니다.
결국 해당 구간에서 y=x-1 이 그려집니다. 해당 구간에서는 y=x 그래프가 y축 방향으로 1만큼
내려오게 되는 것이죠. 이렇게 그리다 보면 y값이 모두 0보다 크거나 같고 1보다 작은
범위에서만 나오죠.

이렇게 나오는 것이 당연한 거죠.
왜냐면 [x]는 x의 정수부분이고 x-[x]는 x의 소수부분을 말하는 거니까요.
통으로 이해가 되시죠?


자, 이제 2번 함수를 이해했다면 3번 함수는 좀 더 쉽게 그려질 수 있습니다.
일단 3번 함수를 그릴 수 있을려면 로그함수의 기본형은 이미 마스터 되어 있어야겠죠?
일단 가오스 기호를 씌워서 정수가 나오는 값, 즉 1/4, 1/2, 1, 2, 4 등을 x에 넣으면
y값은 0 이 나오죠? 1보다 크고 2보다 작은 값을 넣으면 가오스 값이 0이 나옵니다.
그러므로 해당 구간에서는 로그함수만 그리면 됩니다.
그리고 2부터 4의 값을 넣으면 1이 나오구요. 그럼 로그함수를 그린 다음
y축 방향으로 1만큼 내려 그리면 됩니다.

주의해야할 것은 1보다 작은 구간입니다. 1/2와 1 사이의 값을 x에 넣으면 로그를 씌운 값이
-1과 0 사이의 값이기 때문에 가우스를 씌우면 -1이 됩니다.
그럼 해당 구간에서는 로그함수를 그린 다음 y축 방향으로 1만큼 올려 그리면 되겠죠?
이런 발상으로 그려나가면 3번 함수그래프 그리기가 완성됩니다.


완성된 그래프를 보면 y값이 0보다 크거나 같고 1보다 작은 범위에서만 나오죠?
왜냐하면 많은 학생들이 알고 있겠지만 저 함수의 y값은 가수부분을 의미함으로 당연히
0보다 크거나 같고 1보다 작은 범위에서만 치역이 나와야겠죠.
이렇게 수학은 통으로 모든 것이 맞아 떨어짐을 이해하는데 재미가 있는 것입니다.


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오늘도 즐공! 열공!