2024학년도 6월 모의평가 기하 28번을 풀어봅시다.
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일단 좌표평면에 네 점 A, B, C, D를 표시합시다.
(가) 조건을 먼저 볼게요. 두 값을 곱해서 0이 된다면 적어도 하나가 0이 되어야 합니다.
왼쪽에 있는 값이 0이 되는 경우, 두 벡터 DX, OC의 내적이 0이기 때문에 두 벡터가 이루는 각의 크기가 90도여야 합니다.
벡터 OC의 성분은 (4, 4)이기 때문에 벡터 DX의 성분은 (1, -1), (2, -2), (k, -k)와 같아야 하며, 이때 점 X는 점 D를 지나면서 기울기가 -1인 직선 위에 있는 점들의 부분집합입니다. 이때 점 X는 직선 x+y=14 위에 있는 점들의 부분집합입니다.(부분집합이라고 하는 이유는 직선 x+y=14 위에 있으면서 조건 (나)를 만족시키지 않는 점들이 있을 수 있기 때문)
오른쪽에 있는 값이 0이 되는 경우, 벡터 CX의 크기가 3이어야 합니다. 이때 점 X는 점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 3인 원 위에 있는 점들의 부분집합입니다.
점 X는 초록색 원과 파란색 직선 위에 있을 수 있습니다.
조건 (나)를 보면, 선분 AB 위의 어떤 점 P에 대하여 두 벡터 PX, OC가 서로 평행하다고 합니다. 벡터 OC의 방향은 (1, 1)이고, 벡터 PX의 방향도 (1, 1)이어야 하므로 점 X는, 선분 AB 위의 점을 지나면서 기울기가 1인 직선이, 초록색 원 또는 파란색 직선과 만나는 점들의 집합입니다.
점 A를 지나면서 기울기가 1인 직선, 점 B를 지나면서 기울기가 1인 직선을 그으면 점 X가 어디에 들어갈 수 있는지 확인할 수 있습니다.
y좌표가 최대인 점은 (5, 9)이고, 최소인 점은 (4, 1)이므로 내적하면 29입니다.
정답 : ⑤
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