[칼럼] 벡터를 통한 포물선운동 분석

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 안녕하세요! 저는 이번 수능에서 물리학2 만점을 받은 본체만채!라고 합니다. 지난번 물2 학습 가이드에 이어, 오늘은 본격적으로 문제 풀이 방법에 대한 칼럼을 작성해보고자 이렇게 찾아왔습니다. 오늘 살펴볼 내용은 ‘벡터’를 통해서 포물선 운동을 분석하는 방법입니다. 예제들을 통해 차근차근 설명드릴테니, 잘 따라오시면 좋겠습니다!

Theme 1. 위치벡터

 물1에서 1차원 등가속도 운동을 배우고, 물2에서 2차원 등가속도 운동을 배웁니다. 차원에 관계없이, 등가속도 운동의 공통점은 특정한 ‘속도’로 진행하고 있는 물체의 운동을 ‘가속도’를 통해 변화시킨다는 것입니다. 위치벡터를 통한 등가속도 운동의 분석은, 속도에 의한 위치의 변화와, 가속도에 의한 위치 변화의 효과를 분리하여 변위를 분석하는 것입니다. 말로만 해서는 잘 이해가 안될테니, 예시를 함께 살펴봅시다.

 1차원 등가속도 운동을 위치벡터를 통해서 분석한 것입니다. 변위 ‘S’를 속도에 의한 부분인 vt와 가속도에 의한 부분인 1/2at^2으로 분리한 것입니다. vt 부분은 가속도가 없었다면, 즉 v의 속도로 등속운동을 진행했다면 어떤 변위를 따라갔을지를 나타낸 것이고, 뒤의 가속부분은 가속도가 있어서 생긴 변위를 나타낸 것입니다.

 마찬가지로 2차원 포물선 운동을 위치벡터를 통해서 분석해보면, 아래의 그림과 같이 나타납니다.

 다들 아시겠지만, 운동의 궤적과 관계없이 변위는 운동의 시점, 종점을 연결한 벡터입니다. 이 벡터를 표현하기 위해, 그림과 같이 속도에 의한 변위 변화, 가속도에 의한 변위 변화를 나타낸 것입니다. 아직까진 괜찮죠?

Theme 2. 위치벡터를 통한 두 물체 간 충돌의 분석

 위치벡터는 두 물체가 충돌하는 경우에 빛을 발하게 됩니다. 예를 들어, 포물선 운동하는 두 물체가 부딪힌다고 가정합시다. 그 상황을 위치벡터를 이용하여 나타내면 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 같은 시간동안 진행한 경우를 가정한다면, 두 물체의 중력가속도는 똑같기에 가속도에 의한 변위벡터는 1/2gt^2으로 똑같죠. 그러면, 위의 그림처럼 이제 이 두 물체의 충돌상황을 표현하는데에는 초기 속도에 의한 변위를 나타내는 것만으로도 충분해집니다. 복잡한 궤적의 포물선 운동이 직선 운동으로 변화하는 순간이 되겠죠.

 이번 수능의 13번 문제입니다. 빨간색으로 표현된 벡터는 A, B 각각의 속도에 의한 변위이고, 푸른색으로 표현된 벡터는 가속도에 의한, A, B에서 동일한 변위입니다. 두 물체의 충돌상황을 나타내는 것은 붉은색 화살표만으로도 충분하다는 것이 이해가 되시죠? 그리고, 이를 바탕으로 요구하는 탄젠트 값을 구하면, 정답은 2가 된다는 것을 바로 파악할 수 있습니다.

 이런 자유로운 운동의 상황이 아닌, 한 물체는 빗면에 있고/다른 물체는 자유롭게 운동하는 상황에서 위치벡터를 통한 분석은 더욱 빛을 발하게 됩니다. 

 이런 상황이 있다고 가정해봅시다. A는 빗면 위에서 g’, 여기서는 빗면 경사각이 30도니까 1/2g의 가속도로 등가속도 운동을 하고, B는 자유롭게 g의 가속도로 포물선 운동을 합니다. A와 B의 변위벡터를 표현해보면, 아래와 같이 나타내볼 수 있겠습니다.

 그림이 이해되시나요? 이 두 개의 상황을, 하나의 그림에 묶어서 표현하면 이렇게 됩니다.

 여기에서 위치 벡터를 통해서 얻을 수 있는 유의미한 장점은 무엇일가요? 바로 가속운동에 의한 변위 분석입니다. 위의 그림을 보시면 아시겠지만, B의 가속도에 의한 변위와 A의 가속도에 의한 변위로 직각삼각형을 만들었죠? 이 직각삼각형을 통해, A의 빗면 가속도가 B의 절반이라는 것을 표현할 수 있습니다. 이렇게 위치 벡터를 통해서 표현하는 것은, 문제를 풀 때 큰 도움이 됩니다. 저와 함께 220611을 봅시다. 우선 먼저 풀어보실래요?

 네, 저와 함께 벡터를 통해서 살펴봅시다. 벡터를 통해 A, B에 의한 운동을 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

앞의 예시와 마찬가지로, 가속도에 의한 변위를 직각삼각형으로 표현하면, 두 속도 간의 관계도 바로 직각삼각형으로 표현되며 정답이 바로 나옵니다. 이렇듯, 두 물체 간의 충돌상황을 위치벡터를 통해 나타내면 더욱 쉽게 상황을 분석할 수 있습니다!

Theme 3. 속도벡터

 다음은 속도벡터입니다. 속도벡터는, 가속도에 의해서 변화하는 속도를 벡터를 통해서 나타낸 것입니다. 아래의 그림을 참고하시면 좋을 것 같습니다.

 초기 속도에서, 가속도에 평행한 방향으로의 벡터를 더하면 나중 속도가 나오게 되는 관계를 나타낸 것입니다. 이런 속도벡터는, 평균속도의 개념과 더해지면 활용도가 매우 높아집니다.

 평균속도벡터는, 초기 속도에서 속도 변화량의 절반을 합성한 벡터와 같습니다. 그리고, 이 평균속도벡터에 시간을 곱한 것이 무엇이 되나요? 변위가 되죠. 그렇기 때문에 이 평균속도벡터는 앞에서 살펴보았던 위치벡터가 됩니다. 속도벡터와 위치벡터는 이런 관계를 가지고 있습니다. 또, 앞에서 위치벡터는 초기 속도에 의한 이동에 가속도에 의한 이동, 즉 1/2at^2를 더한 것이라고 했죠? 속도 변화량인 delta(v)의 절반이, 바로 1/2at^2을 나타내는 벡터가 되겠습니다.

 이런 점을 활용할 때, 나중 속도의 y성분, 또는 x성분이 0이 될 때는 굉장히 재밌는 성질이 나옵니다.

 아래의 그림처럼, 나중 속도의 y성분이 0이 되는 벡터가 있을 때, 평균속도벡터는 처음 속도벡터의 y성분의 절반이 되는 y성분을 가지게 됩니다. 그렇기 때문에, 포물선 운동의 최고점에서는 그냥 직선운동으로 진행했다면 도달했을 지점의 절반에 해당하는 지점에 도달하게 됩니다.

 앞에서 살펴본 속도벡터의 개념들을 통해서, 문제들을 풀어봅시다!

 220617입니다. 먼저 생각해보고, 제 풀이를 따라와보시기 바랍니다.

 해보셨나요? 같이 가봅시다. 우선, 주어진 상황을 속도벡터와 평균속도벡터로 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 첫 선지는 당연한 말이니 넘어가고, 두 번째 선지를 함께 봅시다. q에서 s사이의 거리를 물어보는데, 이는 v1과 평균속도벡터 사이의 운동이죠? 그려면, 다시 평균속도벡터를 나중 속도로 두고, 이에 v1과 나중 속도에 대한 새로운 평균속도벡터를 그려주세요. 이렇게요.

 이러면, 나중 속도와 평균 속도벡터가 60도의 각을 이룬다는게 바로 보이고, ps의 길이가 L이니 qs의 길이가 sqrt(3)ㅣ이라는게 보일겁니다. 이렇게 ㄴ선지가 해결됩니다.

 마지막 선지는, 속도벡터를 통해 아래와 같이 도형의 성질을 활용하면 맞는 말이라는 것을 알 수 있습니다.

 다음 문제로 넘어가봅시다. 이번에는 210920입니다. 두 물체가 충돌하는 상황을 다룬 문항입니다! 마찬가지로, 먼저 풀어보고 생각해봅시다.

 우선, 문제 상황을 예쁘게 벡터로 그리면 이렇게 표현이 되겠네요.

 그런데, A와 V의 나중 속력이 v로 같다고 하네요? 그러면, 위의 삼각형은 직각 이등변삼각형이 됩니다. 이를 다시 예쁜 그림으로 나타내면 이렇게 표현됩니다.

 여기에서, 그림에서 보이는 정보들을 바탕으로 선지를 해결하면 앞의 두 선지는 맞는 선지라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

 그리고, 아래와 같이 간단한 계산을 거치면 마지막 선지도 적절한 선지라는 것을 이해할 수 있겠네요.

 두 개만 더 풀어봅시다. 이번에는 220619인데요, 마찬가지로 두 물체의 충돌을 다룬 상황이지만 중력장의 상황이 아니라 x, y축의 가속도가 모두 존재하는 상황이라는 것을 인지해야 합니다. 마찬가지로, 먼저 생각해보시고 저의 풀이를 보시면 좋겠습니다!

해보셨나요? 함께 살펴봅시다. 우선, A와 B의 속도벡터, 가속도를 나타내보면 아래와 같이 나타낼 수 있겠습니다. 

A의 초속, 평균속도, 나중 속도의 각이 표시되어 있으니 이를 바탕으로 가속도의 방향을 추론할 수 있고, B에 대한 속도벡터도 그릴 수 있는겁니다.

 어라, A의 나중 속도벡터의 x성분이 0이네요. 그러면 위에서 설명했던 대로, A에서 초기속도로 진행한 경우를 가정한 것과, 실제 변위는 1/2배의 차이가 나겠습니다. 그걸 그림 위에 위치벡터로 표현하면, 위와 같이 나타낼 수 있습니다.

 붉은색으로 표시한 것이 초기속도벡터, 푸른색으로 표현한 것이 속도 변화량의 절반, 즉 가속도에 의한 위치벡터입니다. 가속도와 진행 시간이 같은 충돌이니, 붉은색 벡터만 해석해도 충분하겠죠? 위에서 말씀드린 초기속도로 진행한 거리와 평균속도로 진행한 거리 사이의 관계에 따라, A의 초기속도로 진행한 벡터는 16/5d까지 오게 됩니다. 따라서 A와 B가 초기속도를 따라 이동한 거리의 비는 4:1이 되겠네요.

 마지막으로 221115를 풀어봅시다. 제가 ‘각찾기’라고 부르는 유형인데요, 빗면의 경사각을 제시하지 않았기에 이를 직접 찾아야하는 유형입니다. 먼저 생각해보세요.

 함께 살펴볼까요? 우선, A와 B에 의한 속도벡터, 평균속도벡터를 나타내면 아래와 같겠습니다. 

여기에서, A의 초기속도에 의해 진행한 위치벡터의 크기를 2라고 두면, A의 빗면가속도에 의해 진행한 위치벡터의 크기는 1이 될 것이고, B의 중력가속도에 의해 진행한 위치벡터의 크기는 1/sin(theta)가 될 것입니다. 이를 그림에 표현하면 아래와 같습니다.

 이를 통해, 빗면 경사각은 sin(theta)=1/sqrt(3)이 된다는 것을 알 수 있죠. 이를 바탕으로 속도를 구해봅시다.

 속도벡터를 위와 같이 그리면, 평균속도를 3이라고 할 때 초속, 즉 v는 sqrt(6)이 되고, 나중 속도는 3sqrt(2), 즉 sqrt(3)v가 되겠습니다. 역학적 에너지 보존법칙을 통해서 계산하면, 정답은 2번이 된다는 것을 구할 수 있겠네요.

 오늘 말씀드린 내용은, 처음 학습하신다면 꽤나 어려울 수 있습니다. 이해가 잘 안 된다면 여러 번 읽어보시고, 다른 훌륭한 선생님들의 칼럼에서도 비슷한 내용이 많이 나왔으니 찾아보시면 좋겠습니다. 다만, 제가 전달드리고 싶은 내용은 ‘이렇게 쉽게, 기하적으로 포물선 운동을 풀 수 있다.’라는 점입니다. 이는 대부분의 기출문제들에 적용됩니다.

 오늘, 제가 두 물체의 충돌을 다루는 상황의 문제들을 먼저 각각의 운동을 벡터로 표현하고-> 문제 위에 두 벡터를 중첩시켜서 나타내는 일관된 방법을 통해서 보여드렸죠? 여러분들도 이렇게 일관되게 풀어낼 수 있도록 있도록 연습하시면 좋을 것 같습니다.

 오늘도 본체만채! 였습니다. 팔로우와 좋아요는 다음 칼럼을 쓰는데 큰 도움이 됩니다. 궁금한 점, 또는 물2에 대한 상담이 필요하시다면 댓글과 쪽지로 자유롭게 남겨두시기 바랍니다! 좋은 하루 보내시고, 저는 다시 열심히 국어 칼럼 쓰러 가겠습니다. 감사합니다!