[박수칠] 함수의 극대·극소와 미분계수
게시글 주소: https://w.orbi.kr/0008006433
안녕하세요~ 박수칠입니다 ^^
지난 번에 올렸던 ’극대·극소의 새로운 정의 이해하기’에
많은 관심을 보여주셔서 감사합니다.
1, 2월에 올린 칼럼 가운데 가장 최근 것임에도 불구하고
조회수와 좋아요가 가장 많이 나왔어요.
(오르비 페북에 링크됐던데 그 덕분일 수도 있겠네요.)
그런데…
칼럼을 읽은 분들의 반응을 보니
살짝 우려되는 부분이 생겼습니다.
칼럼을 쓴 의도는 ‘극대·극소의 새로운 정의를
다양한 함수에 적용해서 깊이 있게 이해해보자’였는데
생각과 다르게 새로운 정의가 어렵다는 반응이 많네요.
이것은 극대·극소의 새로운 정의(이하 확장 정의)가
다양한 함수에 적용 가능하기 때문에 생긴 착시라 봅니다.
미적분1, 2 교과서나 수능/모평 기출을 보면
극대·극소 문제는 연속이면서 함숫값이 일정한 구간이 없는
함수를 대상으로 하고 있습니다.
이 경우로 한정해서 확장 정의를 적용하면
주변보다 높은 봉우리는 극대점, 주변보다 낮은 골짜기는 극소점
이라는 해석이 가능하지요.
알고 보면 쉽습니다 ^^
극대·극소 확장 정의는
다양한 함수에 적용 가능하다는 것 외에
또 하나의 장점이 있습니다.
바로 함수의 극대·극소와 미분계수 사이의 관계를
수식적으로 쉽게 연결시켜준다는 점이죠.
바로 확인 들어가야죠? ^^
미분가능한 함수 y=f(x)가
x=a에서 극대라고 가정합시다.
그럼 극대·극소의 확장 정의에 의해
어떤 열린 구간 I에 속하는 모든 x에 대하여
f(a) ≥ f(x)가 성립합니다. (단, a ∈ I)
따라서 f(x)-f(a) ≤ 0가 되고,
x=a에서의 좌미분계수와 우미분계수는
다음을 만족합니다.
(∵x→a-일 때 x-a < 0, x→a+일 때 x-a >0)
함수 y=f(x)가 x=a에서 미분가능하므로 f’(a)가 존재하고,
위 부등식으로부터 f’(a)=0임을 알 수 있습니다.
미분가능한 함수 y=f(x)가 x=a에서 극대일 때
f’(a)=0이라는 사실이 쉽게 증명되죠?
미분가능한 함수 y=f(x)가 x=a에서 극소일 때
f’(a)=0인 것도 같은 방법으로 증명할 수 있습니다.
그리고 다음과 같은 명제를 만들 수 있습니다.
위 명제는 미분가능한 함수 y=f(x)가
함숫값이 일정한 구간을 가질 때도 적용됩니다.
함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [c, d]에서 함숫값이 일정할 때
열린 구간 (c, d)에서는 극대인 동시에 극소,
x=c, d에서는 극대 또는 극소라는 사실 아시죠?
함수 y=f(x)가 구간 (a, b)에서 미분가능하다면
닫힌 구간 [c, d]에서 f’(x)=0이기 때문에
위 명제가 성립함을 알 수 있습니다.
그리고 함수의 극대·극소와 미분계수의 관계에서
주의할 점이 두 가지 있는데…
첫 번째는
’함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때
x=a에서 극대 또는 극소면 f’(a)=0이다’ 는 참이지만
그 역인 ’f’(a)=0이면 함수 f(x)는 x=a에서 극대 또는 극소다’는
거짓이라는 점입니다.
미분계수가 0이지만 극점이 아닌 경우가 있기 때문이죠.
두 번째는
함수의 극대·극소와 미분계수를 연결하다 보면
미분불가능한 점에서 극대·극소가 나타나지 않는다고
착각하기 쉽다는 점입니다.
하지만 아래와 같이
미분불가능하지만 극대 또는 극소인 경우가 있기 때문에
주의해야 합니다.
마지막으로 한 가지 더!
함수의 최대·최소는 극대·극소와 정의가 비슷합니다.
단지 ‘어떤 열린 구간 I’ 대신 ‘정의역’이 자리할 뿐이죠.
그리고
‘미분가능한 함수 y=f(x)가
x=a에서 극값을 가질 때 f’(a)=0이다’를
증명하는 과정에서 극대·극소를 최대·최소로 바꾸면
롤의 정리에 대한 증명이 됩니다.
볼까요?
i) f(x)가 상수함수일 때
f’(x)=0이므로 c의 값은 열린 구간 (a, b)에 속하는 모든 실수입니다.
ii) f(x)가 상수함수가 아닐 때
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이므로
최대·최소 정리에 의해 이 구간에서 최댓값 또는 최솟값을 갖습니다.
① 함수 y=f(x)가 x=c (a < c < b)에서 최대일 때
최대·최소의 정의에 의해
정의역에 속하는 모든 x에 대하여
부등식 f(a) ≥ f(x)가 성립합니다.
따라서 f(x)-f(a) ≤ 0가 되고,
x=c에서의 좌미분계수와 우미분계수는
다음을 만족합니다.
(∵x→c-일 때 x-c < 0, x→c+일 때 x-c >0)
함수 y=f(x)가 x=c에서 미분가능하므로 f’(c)가 존재하고,
위 부등식으로부터 f’(c)=0임을 알 수 있습니다.
② 함수 y=f(x)가 x=c에서 최소일 때
(같은 방법이므로 생략)
오늘은 여기까지 입니다.
긴 글 읽어주셔서 감사드려요~ ^^
[알림] 미적분1-다항함수의 미분법 부교재 업로드 되었습니다.
다음에 작업할 부교재는 미적분2-미분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
먹을만한가요 근데 아무리 생각해두 이거 살 돈이면 bhc...
-
오노추 0
엑디스 - strawberry cake 스트로베리 사실 스펠링이 헷갈려요...
-
아수라 배송왔다 0
딱대
-
실수가 될거야
-
겁나힘들군
-
인강들어야 아!하지 않음? 중3때 뉴런이랑 강기분 잠깐들었는데 이해가 안되는건...
-
현 시점 지구과학 질문있습니다! ( 오지훈 박선 선생님 ) 0
지금 오지훈 선생님 유자분까지 완강한 상태이고 magic 실전문제 step4...
-
내년 수능 준비중이에요
-
뭐가 더 얻어갈게 많나요? 또는 평가원이랑 비슷한가요 추천 ㅂㅌ
-
ㄹㅇ
-
근데 못멈출 사정이 있었지
-
문재인때문이다
-
직접 답장문자받을 때마다 설렜는데 이젠 동틀녘인가 어플로 바뀌어서 아쉽 ㅠㅠ 정식T는 보너스
-
이거 ㄹㅇ임
-
많아도 너무 많은데
-
밥먹으면서 볼까 이따 지하철에서 볼까
-
이게 진심일 줄 누가 알았냐...
-
체급을 올릴수 있으면 체급을 올리지 사실상 7월이후에는 체급안오름
-
고흡수성수지 ㅋㅋㅋㅋ
-
편의점 점메추 4
ㄹㅇ 라면은 이제 별로임ㅜ
-
부끄러운데 뭐 사면 되나요
-
경상수지 ㅋㅋㅋㄱㅋㅋㅋㄱㅋㅋㅋ 경하하하하하
-
오히려 저 문제로 인해서 평가원이 불확실하게 낼 만한 요소들을 차단하고 정오를 가릴...
-
소였구나... 앵무새가 매섭게 쳐다보는줄
-
덥다 더워 이것까지 해낸다면 진짜로 신창섭의 축복이겠지요..
-
공대로 쳐주나요?
-
사실 찐 노베이스가 1년만에 성적 올린다는거 자체가 11
허상인게 아닐까 특정 과목만 노베면 모를까, 어느정도 유베인 나도 매일매일 공부시간...
-
점심 안먹었는데 5
자느라 못먹음.. 맘터 먹을까
-
92점 (15번, 22번 틀) 시간 때문에 22번은 풀지도 못 했지만.. 그래도...
-
진순 진짜 맛있는데 10
진매도 맛있는데 진순이 맛없다는 사람은 사실 진순이 좋은데 부끄러운거임 반박안받음.
-
출제위원으로 납치당하셨나
-
이거 강대x에 딸려온 서킷은 뭔가요? 아직 안까봤는데 약간 하프모의고사 형태임?
-
15 21 22 29 30 1등급(1컷 76점) 15번에 16분 박았는데 틀렸네...
-
미미미누가 데려온 강사진
-
충격을 주면 됨 따로 학교 끝나고 복도에서 잠깐 보자고 한 다음에 애들 다 간 다음...
-
수능까지 8주 1
파이팅!
-
컵라면은 죄다 봉지라면보다 맛업어서 뭔가 손이 잘안감
-
사연없는 수험생이 없다는 걸 누구보다도 제일 잘 알지만 공부하기가 정말 너무 힘듦...
-
ㅅㅂ 난 나중에 좀 자리 잡히고 돈다발 쌓이면 가서 마저 학위 따야겟음 어차피...
-
요즘 공부중인거 4
너무 즐거워요 재밌다
-
해외에서 살다가 수능을 못보고 한국에서 취업했는데 더 후회하기전에 한국에서 수능을...
-
질문받음 9
방금 실수로 손 삐끗하고 실모 찢어서 기분 안 좋음
-
병호 vs 병훈 7
누구 계좌로 입금해줄까~~ 흐흐
-
"학교 갈 시간에 성착취방 경력 쌓겠다는 중·고생도 나왔다" 1
“디지털 성범죄를 저지르는 것을 당연하게 생각하거나 심지어 권리로 여기는 가해자들이...
-
오르비 여러분들 2
올해 삼수생입니다 7월부터 반수 시작했구요 작수는 백분위로 72 94 3 97...
-
저 강기분 독서 책만풀고 문학은 두ㅏ에 고전시가파트 강의만 들엇어요...
-
안녕하세요 내년 수능 응시하는 18살 자퇴생입니다 생명과학 II를 준비중이라 이제...
-
잘하는 사람이 너무 많다
-
게임프사임
-
몇회차까지 나왔고, 또 매주 무슨요일에 나오나요?
함숫값이 일정한 구간이 있는 함수에서도 극대극소가 적용되나요? 왜죠?
구간내에서 해당 값보다 큰값만 없으면 극대이므로 상수함수는 모든값이 극대 모든값이 극소입니다.
지난 칼럼에 자세하게 설명되어 있습니다.
http://orbi.kr/0007982857
칼럼 매번 잘 읽고갑니다!
늘 와주셔서 감사합니다 ^^
쵝오.
오늘은 일찍 오셨군요 ^^
감사합니다~
먼저 좋아요 누르고 읽으러 갑니다
와주셔서 감사합니다~ ^^
좋은글 감사합니다~
읽어주셔서 감사합니다 ^^
학생한테 과외하면서 쉽게 가르친다고 극점은 도함수 부호가 바뀌는 지점이라고 설명하는데 이러면 곤란할까요...? 이런
못하는 학생 대상이에요
본문에도 언급되어 있지만
교과서/수능으로 한정했을 때 극대, 극소 문제의 대상은
함숫값이 일정한 구간이 존재하지 않는 연속함수입니다.
이런 경우에는
(극점)=(도함수의 부호가 바뀌는 지점)이라고 할 수 있죠.
별 문제 없어 보입니다 ^^
아 감사합니다!
좋은 글 감사합니다^^
저도 읽어주셔서 감사드립니다 ^^
박수칠때떠나라
박수 받으려면 아직 멀었다니까요... ㅡㅡ;