[박수칠] 다항함수의 그래프와 직선이 만나는 모양

미적분1에서 배우는 미분법은 다항함수를 대상으로 하고 있습니다.

그 중에서도 삼차함수와 사차함수가 핵심이구요.

미분법을 이용해서 다항함수 f(x)의 그래프 개형을 그리는

일반적인 과정은 다음과 같습니다.

  (1) 도함수 f’(x)로 함수 f(x)의 증감과 극점 조사하기

  (2) x절편, y절편 조사하기

  (3) 좌표평면에 극점과 x절편, y절편을 표시한 후 곡선으로 이어주기

이 과정을 따르면 대부분의 다항함수에 대한 그래프 개형을 그릴 수 있지만

시간이 걸리기도 하고, 문제 풀이에 필요한 다항함수의 특성을

놓칠 수도 있습니다.

따라서 위와 같은 과정을 거쳐 그래프 개형을 파악하는 방법 외에

함수식의 형태와 그래프 개형 사이의 관계에 대해서도 알아둬야 합니다.

1. 함수 의 그래프 모양 (단, n은 자연수)

다음 그림은 함수 (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)의 그래프를

하나의 좌표평면에 겹쳐 그린 것입니다. 

여기서 다음과 같은 특징을 찾을 수 있습니다.

i) x > 0일 때

  함수 의 그래프는 제1사분면에만 그려지고, 점 (1, 1)을 반드시 지납니다.

  그리고 n의 값이 증가할수록 구간 (0, 1)에서는 x축으로 다가가고,

  구간 (1, ∞)에서는 x축에서 멀어집니다.

ii) x < 0일 때

① n이 홀수일 때

  함수 이 기함수이므로 x > 0일 때의 그래프와 원점에 대해 대칭입니다.

  따라서 제3사분면에만 그려지고, 점 (-1, -1)을 반드시 지납니다.

  그리고 n의 값이 증가할수록 구간 (-1, 0)에서는 x축으로 다가가고,

  구간 (-∞, -1)에서는 x축에서 멀어집니다.

② n이 짝수일 때

  함수 이 우함수이므로 x > 0일 때의 그래프와 y축에 대해 대칭입니다.

  따라서 제2사분면에만 그려지고, 점 (-1, 1)을 반드시 지납니다.

  그리고 n의 값이 증가할수록 구간 (-1, 0)에서는 x축으로 다가가고,

  구간 (-∞, -1)에서는 x축에서 멀어집니다.

2. 최고차항의 차수와 최고차항의 계수 부호에 따른 그래프의 모양

일반적인 n차 함수 f(x)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

이 식을 으로 묶어주면

가 되고, x→∞ 또는 x→-∞일 때

이므로 f(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서 의 부호가 양수일 때와 음수일 때, n이 홀수일 때와 짝수일 때로 나눠서

x→∞ 또는 x→-∞일 때의 그래프 모양을 조사하면 다음과 같습니다.

i) 일 때

① n이 홀수일 때

  x→∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 오른쪽 위로,

  x→-∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향한다.

② n이 짝수일 때

  x→∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 오른쪽 위로,

  x→-∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 왼쪽 위로 향한다.

ii) 일 때

① n이 홀수일 때

  x→∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 오른쪽 아래로,

  x→-∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 왼쪽 위로 향한다.

② n이 짝수일 때

  x→∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 오른쪽 아래로,

  x→-∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향한다.

3. 다항함수의 그래프와 x축이 만나는 모양

다항함수 f(x)에 대하여

f(a)=0이면 함수 f(x)의 그래프는 x축 위의 점 (a, 0)을 지나고

f’(a)=0이면 x=a일 때의 접선이 x축에 평행합니다.

다항함수 f(x)에 대하여

f(a)=0, f’(a)=0이 동시에 성립하면

함수 f(x)의 그래프가 x축 위의 점 (a, 0)을 지나면서

이 점에서의 접선이 x축에 평행하기 때문에

함수 f(x)의 그래프와 x축은 점 (a, 0)에서 접하게 됩니다.

이때, 다항식 f(x)는 (x-a)²을 인수로 가지며,

이유는 다음과 같습니다.

f(a)=0이므로 인수정리에 따라 다항식 f(x)는 x-a를 인수로 갖는다.

따라서 다항식 f(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

f(x) = (x-a)Q₁(x)

그리고 함수 f(x)의 도함수가

f’(x) = Q₁(x) + (x-a)Q₁’(x)

이고, f’(a)=0이므로 다음이 성립한다.

f’(a)=Q₁(a)=0

따라서 Q₁(x)도 x-a를 인수로 가지며,

Q₁(x), f(x)를 다음과 같이 표현할 수 있다.

Q₁(x) = (x-a)Q₂(x)

f(x)=(x-a)²Q₂(x)

반대로 다항식 f(x)가 (x-a)²을 인수로 가지면 어떨까요?

함수 f(x)의 그래프는 x축과 접할까요?

함수 f(x)가 

f(x) = (x-a)²Q(x) (단, Q(a)≠0)

로 표현되면 먼저 f(a)=0이기 때문에

함수 f(x)의 그래프가 x축 위의 점 (a, 0)을 지납니다.

그리고 함수 f(x)의 도함수

f’(x) = 2(x-a)Q(x) + (x-a)²Q’(x)

로부터 f’(a)=0이 성립하므로 함수 f(x)의 그래프는

x=a일 때 x축에 접하게 됩니다.

또한 Q(a)≠0이고,

x→a-일 때와 x→a+일 때 모두 (x-a)² >0 이므로

x=a의 좌우에서 f(x) = (x-a)²Q(x)는 부호 변화가 없습니다.

따라서 함수 f(x) = (x-a)²Q(x)의 그래프는

x축 위의 점 (a, 0)에서 x축을 뚫지 않으면서 x축에 접합니다.

그럼 다항식 f(x)가 (x-a)³을 인수로 가지면 어떨까요?

함수 f(x)가 

f(x) = (x-a)³Q(x) (단, Q(a)≠0)

표현되면 마찬가지로 f(a)=0이기 때문에

함수 f(x)의 그래프가 점 (a, 0)을 지납니다.

그리고 함수 f(x)의 도함수

f’(x) = 3(x-a)²Q(x) + (x-a)³Q’(x)

로부터 f’(a)=0이 성립하므로 함수 f(x)의 그래프는

x축 위의 점 (a, 0)에서 x축에 접하게 됩니다.

또한 Q(a)≠0이고,

x→a-일 때 (x-a)³ < 0, x→a+일 때 (x-a)³ >0 이므로

x=a의 좌우에서 f(x)의 부호는 반대입니다.

따라서 함수 f(x) = (x-a)³Q(x)의 그래프는

x축 위의 점 (a, 0)에서 x축을 뚫으면서 x축에 접합니다.

일반적으로 다항함수 f(x)가 

 (단, Q(a)≠0)

로 표현될 때, 함수 f(x)의 그래프와 x축이 만나는 모양은 다음과 같습니다.

  n=1일 때 f(x)의 그래프는 점 (a, 0)에서 x축을 뚫는다.

  n이 짝수일 때 f(x)의 그래프는 점 (a, 0)에서 x축을 뚫지 않으면서 접한다.

  n이 3 이상의 홀수일 때 f(x)의 그래프는 점 (a, 0)에서 x축을 뚫으면서 접한다.

그리고 이 내용은

다음과 같이 곡선과 직선이 만나는 모양으로 확장됩니다.

4. 다항함수의 그래프와 직선이 만나는 모양

이차 이상의 다항함수 y=f(x)와 직선 y=g(x)에 대하여

f(a)=g(a), f’(a)=g’(a)가 성립하면

x=a일 때 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 접한다는 것은

알고 있을 겁니다.

여기서 새로운 함수 h(x)를 다음과 같이 정의합니다.

h(x) = f(x) - g(x)

그럼 다음이 성립하죠.

h(a)=f(a)-g(a)=0

그리고 함수 h(x)의 도함수가

h’(x) = f’(x) - g’(x)

이기 때문에 다음이 성립합니다.

h’(a) = f’(a) - g’(a) =0

따라서 함수 h(x)의 그래프는 x축에 접하고

h(x) = f(x) - g(x)는 (x-a)²을 인수로 갖게 됩니다.

반대로 h(x) = f(x) - g(x)가 (x-a)²을 인수로 가지면 어떨까요?

함수 h(x)가 

h(x) = (x-a)² Q(x) (단, Q(a)≠0)

로 표현되면 h(a)=0, h’(a)=0이 성립함을 알 수 있습니다.

그리고

h(a)=0으로부터 f(a) = g(a)

h’(a)=0으로부터 f’(a)=g’(a)

이므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)는 x=a일 때 접합니다.

또한 Q(a)≠0이고,

x→a-일 때와 x→a+일 때 모두 (x-a)² >0 이므로

x=a의 좌우에서 h(x)는 부호 변화가 없습니다.

그럼 f(x)-g(x)도 부호 변화가 없기 때문에

x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫지 않으면서 접합니다.

그럼 다항식 h(x)가 (x-a)³을 인수로 가질 때는 어떨까요?

함수 h(x)가 

h(x) = (x-a)³ Q(x) (단, Q(a)≠0)

로 표현되면 h(a)=0, h’(a)=0이 성립함을 알 수 있습니다.

그리고

h(a)=0으로부터 f(a)=g(a)

h’(a)=0으로부터 f’(a)=g’(a)

이므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)는 x=a일 때 접합니다.

또한 Q(a)≠0이고,

x→a-일 때 (x-a)³ < 0, x→a+일 때 (x-a)³ >0 이므로

x=a의 좌우에서 h(x)의 부호가 반대입니다.

그럼 f(x)-g(x)의 부호도 반대이기 때문에

x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫으면서 접합니다.

일반적으로 이차 이상의 다항식 f(x)와 일차 이하의 식 g(x)의 차가

 (단, Q(a)≠0)

로 표현될 때, 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 만나는 모양은 다음과 같습니다.

  n=1일 때 x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫는다.

  n이 짝수일 때 x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫지 않으면서 접한다.

  n이 3 이상의 홀수일 때 x=a애서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫으면서 접한다.

그럼 관련 문제 하나만 보겠습니다.

다음은 2011학년도 7월 학평 나형 20번 문제입니다.

사차함수 y=f(x)와 일차함수 y=g(x)가 x=-2, 1일 때 접하기 때문에

h(x)는 최소한 (x+2)²과 (x-1)²을 인수로 갖습니다.

그리고 h(x)가 최고차항 계수 1인 사차식이므로

h(x) = (x+2)² (x-1)²

로 표현할 수 있죠.

이걸 미분해서 극댓값을 구하면 끝나는 겁니다.

(참고로 답은 81/16입니다.)

아시겠죠? ^^