수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 37일차(마지막)

아래는 오늘 문제인 수특 수2 101p Level3 5번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

f(x)=f(x-a)+b를 만족시키면 f(x)의 그래프가 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b마다 반복이 됩니다. 

그러면 밑변 a 높이 b인 사각형이 하나씩 늘어남을 이용하면 정적분을 쉽게 구할 수 있습니다. 

오늘 문제 풀어볼게요. 

첫번째 극한 조건에서 x→∞일 때 분자 분모의 차수가 같아야하고, 계수의 비가 2여야합니다.

분모가 x³이므로 분자는 2x³로 시작하는 삼차식입니다.

글너데 두번째 극한 조건에서 분모에 (x-3)²가 있으므로

분자 f(x)-1는 (x-3)²를 인수로 가져야 합니다.

따라서 f(x)-1=(x-3)²(2x+b)라 할 수 있습니다.

두번째 극한에 다시 대입해주면 

x→3일 때 (2x+b)의 극한 즉 b+6=6이므로 b=0입니다.

따라서 f(x)=2x(x-3)²+1이 됩니다.

여기서 f'(x)=6(x-1)(x-3)으로 

x=1, 3에서 극대 극소를 갖고

삼차함수 f(x)는 (2, f(2))에 대하여 점대칭입니다.

[0, 4]에서 적분을 해볼게요.

일단 밑변 4 높이 1인 직사각형 넓이가 4이고 이를 제외하면

y=1, x=0, x=4, y=f(x)로 둘러싸인 넓이를 구할텐데

점대칭성을 이용하면 밑변 4 높이 8인 직사각형의 절반이므로 16입니다.

따라서 굳이 적분을 직접하지 않아도 [0, 4]에서 정적분은 4+16=20입니다. 

이제 g(x) 식에 n=1 대입하면

[4, 8]에서는 f(x)=f(x-4)+8이므로 x축 방향 4, y축 방향 8평행이동이므로

[4, 8]에서 정적분 값은 직사각형 넓이 32가 추가 되어 20+32=52,

[8, 12]에서 정적분 값은 또 32가 추가 되어 52+32=84,

[12, 16]에서 정적분 값은 또 32 추가하여 84+32=116이죠.

그래서 모두 더하면 20+52+84+116=272가 되겠죠. 

아래는 관련 기출인 2020년 교육청 3월 30번(나형)입니다.

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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